55、帕累托最优解与源定位问题研究

帕累托最优解与源定位问题研究

帕累托最优解的下界研究

在多标准优化问题中，帕累托最优解的数量研究是一个重要方向。对于特定的背包问题，我们会探讨其帕累托最优解数量的下界情况。

单标准情况分析

当 (n \geq 4) 且 (\varphi \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62) 时，分两种情况讨论：
- 若 (\varphi \leq (\frac{2\varphi - 1}{\varphi - 1})^{\frac{n - 1}{3}})，通过一系列设置和计算，如设 (\hat{n}_q := \frac{\log(\varphi)}{\log(\frac{2\varphi - 1}{\varphi - 1})} \in [1, \frac{n - 1}{3}]) 和 (\hat{n}_p := \frac{n - 1 - \hat{n}_q}{2} \geq \frac{n - 1}{3} \geq 1)，经过取整得到 (n_p) 和 (n_q)。考虑特定权重和利润的对象，根据引理可知对象数量 (N) 满足 (N \leq n)。并且，KS 问题的帕累托集的期望大小为 (\Omega(n^2 \cdot \varphi^{1 - \Theta(1/\varphi)}))。
- 若 (\varphi > (\frac{2\varphi - 1}{\varphi - 1})^{\frac{n - 1}{3}})，构造类似实例，对于最大密度 (\varphi’) 满足 (\varphi’ = (\frac{2\varphi’ - 1}{\varphi’ - 1})^{\frac{n - 1}{3}})，此时帕累