55、多准则优化与源定位问题的算法研究

多准则优化与源定位问题的算法研究

1. 多准则优化中帕累托最优解数量的下界

在多准则优化问题里，帕累托最优解的数量是一个关键研究点。下面我们来探讨其相关的下界情况。

1.1 单准则情况

假设 (n \geq 4) 且 (\varphi \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62)。当 (\varphi \leq (\frac{2\varphi - 1}{\varphi - 1})^{\frac{n - 1}{3}}) 时，我们设定 (\hat{n}_q := \frac{\log(\varphi)}{\log((2\varphi - 1)/(\varphi - 1))} \in [1, \frac{n - 1}{3}]) 以及 (\hat{n}_p := \frac{n - 1 - \hat{n}_q}{2} \geq \frac{n - 1}{3} \geq 1)。通过取整得到 (n_p := \lfloor\hat{n}_p\rfloor \geq 1) 和 (n_q := \lfloor\hat{n}_q\rfloor \geq 1)。

考虑两类对象：
- 对象 (a_1, \ldots, a_{n_p})，其权重为 (2^i)，利润从 (P) 中均匀选取。
- 对象 (b_i^{(l)})，(i = 1, \ldots, n_q)，(l = 1, \ldots, k_i)，权重为 (\frac{2^{n_p + i}}{k_i})，利润从 (Q_i/k_i) 中均匀选取。

这里 (P) 和所有 (Q_i/k_i) 的长度均为 (\frac{1}{\varphi})，所以所