53、对称异或函数通信复杂度与中位数函数通信难题解析

对称异或函数通信复杂度与中位数函数通信难题解析

对称异或函数通信复杂度研究

在通信复杂度领域，对称异或函数的通信复杂度是一个值得深入探索的问题。下面我们将详细介绍相关的概念、协议以及定理。

预备知识

• 汉明距离函数与相等函数 ：汉明距离函数 $Ham(d) n$ 是一个布尔函数，当且仅当两个 $n$ 位字符串 $x$ 和 $y$ 的汉明距离至多为 $d$ 时，$Ham(d)_n(x, y) = 1$。Yao 证明了在公共硬币 SMP 模型中，该函数的随机上界为 $O(d^2)$，随后 Gavinsky 等人将其改进为 $O(d \log n)$，Huang 等人进一步改进为 $O(d \log d)$。$HD {d,\epsilon}$ 表示通过重复 [HSZZ06] 协议 $O(\log(1/\epsilon))$ 次得到的 $O(d \log d \log(1/\epsilon))$ 成本的随机协议，其错误概率低于 $\epsilon$。
• 奇偶函数 ：奇偶函数 $Parity(x)$ 定义为，当且仅当 $|x|$ 为奇数时，$Parity(x) = 1$。
• 对称异或函数 ：若存在对称函数 $S$ 使得 $f(x, y) = S(x \oplus y)$，则函数 $f : {0, 1}^n \times {0, 1}^n \to {0, 1}$ 是对称异或函数，即 $f(x, y) = D(|x \oplus y|)$，其中 $D : {0, 1, \ldots, n} \to {