53、对称异或函数通信复杂度与中位数问题在同步位通信模型中的研究

对称异或函数通信复杂度与中位数问题在同步位通信模型中的研究

在分布式计算和通信复杂度理论中，有两个重要的研究方向值得深入探讨，一是对称异或函数在特定模型下的通信复杂度，二是中位数函数在同步位通信模型中的难度。

对称异或函数通信复杂度

在研究对称异或函数通信复杂度之前，我们先了解一些预备知识。

预备知识

• 汉明距离函数 ：设 $Ham(d) n$ 是一个布尔函数，当且仅当两个 $n$ 位字符串 $x$ 和 $y$ 的汉明距离至多为 $d$ 时，$Ham(d)_n(x, y) = 1$。Yao 给出了公共硬币 SMP 模型下的随机上界 $O(d^2)$，随后 Gavinsky 等人将其改进为 $O(d \log n)$，Huang 等人进一步改进为 $O(d \log d)$。我们用 $HD {d,\epsilon}$ 表示通过重复 Huang 等人的协议 $O(\log(1/\epsilon))$ 次得到的成本为 $O(d \log d \log(1/\epsilon))$ 的随机协议，使得错误概率低于 $\epsilon$。
• 奇偶函数 ：奇偶函数 $Parity(x)$ 定义为，当且仅当 $|x|$ 为奇数时，$Parity(x) = 1$。
• 对称异或函数 ：若函数 $f : {0, 1}^n × {0, 1}^n → {0, 1}$ 满足 $f(x, y) = S(x ⊕ y)$（其中 $S$ 是对称函数），则称 $f$ 为对称异或函数，即 $f(x, y) =