54、通信复杂度与多准则优化问题中的帕累托最优解研究

通信复杂度与多准则优化问题中的帕累托最优解研究

在计算机科学领域，通信复杂度和多准则优化问题中的帕累托最优解是两个重要的研究方向。下面将对这两个方面的相关研究进行深入探讨。

通信复杂度：策略问题与中位数问题的关联

在通信复杂度的研究中，策略问题（Strategy）和中位数问题（Median）之间存在着紧密的联系。

首先，若要证明策略问题的下界与上界 $O(\frac{\log n}{\log \log n})$ 紧密匹配，可能需要采用不同的方法。因为对 $r(n) = \frac{\log n}{\log \log n}$ 得到的不等式进行仔细分析后发现，无论函数 $k(n)$ 如何，至少有一个不等式必须成立。

接下来探讨从策略问题到中位数问题的归约。有命题表明，如果规模为 $n$ 的中位数问题可以在 $O(r(n))$ 轮内使用 $O(c(n))$ 通信量解决，那么规模为 $n$ 的策略问题也可以在 $O(r(n))$ 轮内使用 $O(c(n))$ 通信量解决。其证明过程如下：
1. 基础情况 ：对于高度为 1 的树的策略问题，很容易将其归约到集合 $S = {0, 1}$ 上的中位数问题。根据根节点处 $f$ 的值，给 Bob 空子集，给 Alice 子集 ${0}$ 或 ${1}$。中位数的两个可能值对应 $f$ 到达的两个可能叶子节点。
2. 归纳步骤 ：对于高度为 $k$ 的树，设 $T_l$ 是以根节点左子节点为根的高度为 $k - 1$ 的树，$T_r$ 是以根节点右子节点为根的树。归约过程会创建以下集合：
- $S = S_k = {1, …, l