22、NEXP不具有非均匀拟多项式大小的ACC电路

NEXP不具有非均匀拟多项式大小的ACC电路

1. 研究背景

在计算复杂性理论中，电路复杂性是一个重要的研究领域，它主要研究不同类型电路计算各种函数的能力。多年来，众多学者在电路复杂性的下界证明方面取得了一系列重要成果。
- 奇偶函数相关成果 ：二十多年前，Håstad基于其强大的切换引理证明了奇偶函数无法由多项式大小且深度至多为 $\frac{c \log n}{\log \log n}$（$c$ 为正常数）的AC电路族计算。这一结果在并行随机存取机器模型（PRAM）的下界证明中得到了广泛应用。例如，Beame和Håstad展示了具有多项式数量处理器的CRCW（并发读和并发写）PRAM计算奇偶函数及相关问题的时间的最优 $\Omega(\frac{\log n}{\log \log n})$ 下界。
- MODq函数相关成果 ：Razborov和Smolensky的经典结果表明，如果 $p$ 是素数且 $q$ 不是 $p$ 的幂，那么MODq函数不能由任何常深度和多项式大小的ACCp电路族计算。实际上，他们的技术在非恒定深度电路下界的情况中也适用，即MODq函数对于多项式大小且深度为 $\Omega(\frac{\log n}{\log \log n})$ 的ACCp电路仍然是困难的。
- 永久函数相关成果 ：在均匀电路的设定中，也有一些关于 $\Omega(\log \log n)$ 深度界限的结果。Allender和Gore证明了永久函数不能由指数大小的DLOGTIME - 均匀ACC0电路计算。后来Allender证明了在DLOGTIME - 均匀阈值电路上计算永久函数的一个较