22、NEXP不具有非一致拟多项式规模的ACC电路

NEXP不具有非一致拟多项式规模的ACC电路

1. 研究背景与前期成果

在计算复杂性理论领域，电路复杂度是一个重要的研究方向。多年来，众多学者在不同类型电路的计算能力和下界等方面取得了诸多成果。
- 奇偶函数与AC电路 ：二十多年前，基于强大的切换引理，有研究证明奇偶函数无法由多项式规模且深度至多为 $\frac{c \log n}{\log \log n}$（$c$ 为正常数）的AC电路族计算。这一结果在证明并行随机存取机模型（PRAM）的下界方面有很多应用，例如Beame和Håstad展示了具有多项式数量处理器的CRCW（并发读并发写）PRAM计算奇偶函数及相关问题的时间最优下界为 $\Omega(\frac{\log n}{\log \log n})$。
- MOD函数与ACCp电路 ：Razborov和Smolensky的经典结果表明，如果 $p$ 是素数，$q$ 不是 $p$ 的幂，那么MODq函数不能由任何常深度且多项式规模的ACCp电路族计算。实际上，他们的技术在非恒定深度电路下界的情形下也适用，即MODq函数对于多项式规模且深度为 $\Omega(\frac{\log n}{\log \log n})$ 的ACCp电路仍然很难计算。
- 均匀电路的深度界 ：在均匀电路的设定下，也有一些 $\Omega(\log \log n)$ 深度界的结果。例如，Allender和Gore表明，永久性函数不能由指数规模的DLOGTIME - 均匀ACC0电路计算；后来Allender证明了在DLOGTIME - 均匀阈值电路上计算永久性函数有一个较小（但仍为超拟多项式）的界；