21、阈值电路计算模函数的能量与扇入及NEXP电路下界研究

阈值电路计算模函数的能量与扇入及NEXP电路下界研究

阈值电路计算模函数的能量与扇入

在研究阈值电路计算模函数时，有诸多关键概念和重要结论。

1. 基本定义

   • 阈值电路相关 ：假设阈值电路 (C) 中的门 (g_{C}^1, g_{C}^2, \cdots, g_{C}^s) 是根据 (C) 的底层图进行拓扑排序的。设 (l_1, l_2, \cdots, l_s) 分别是这些门的扇入，(C) 的扇入 (l) 定义为 (l_1, l_2, \cdots, l_s) 中的最大值。对于门 (g_{C}^i)（(1 \leq i \leq s)），设 (w_1, w_2, \cdots, w_{l_i}) 为实数权重，(t_i) 为实数阈值，对于输入 (x \in {0, 1}^n)，(g_{C}^i) 的 (l_i) 个输入为 (z_i(x) = (z_1(x), z_2(x), \cdots, z_{l_i}(x)) \in {0, 1}^{l_i})，其输出 (g_{C}^i(z_i(x))) 定义为 (g_{C}^i(z_i(x)) = \text{sign}(\sum_{j = 1}^{l_i} w_j z_j(x) - t_i))，其中当 (z \geq 0) 时，(\text{sign}(z) = 1)；当 (z < 0) 时，(\text{sign}(z) = 0)，简记为 (g_{C}^i[x])。若 (C) 有 (n’) 个输出，则有 (n’) 个出度为 0 的门，不妨设为 (g_{C}^{s - n’ + 1}, g_{C}^{s - n’ + 2