94、算术电路与图模型检查的下界研究

算术电路与图模型检查的下界研究

在计算复杂性理论中，算术电路和图模型检查是两个重要的研究领域。本文将探讨算术电路的下界以及图模型检查的相关问题，包括不同类型电路和图类的复杂性分析。

算术电路的下界

深度 - 3 电路的下界

对于计算多项式的深度 - 3 电路，如果电路不是齐次的，乘积门的扇入可能会比所计算多项式的次数大很多，之前的技术无法给出非平凡的大小下界。因此，我们研究具有有界乘积维度的深度 - 3 电路，即每个乘积门输入的仿射形式来自一个小维度的线性向量空间，并证明此类电路的指数大小下界。
- 最大秩的上界 ：设 (C) 是一个乘积维度为 (r) 且顶部扇入为 (k) 的 (\Sigma\Pi\Sigma) 电路。对于每个乘积门 (P_j)，我们可以将其展开为齐次线性形式的乘积之和。通过一些引理和推导，我们可以得到 (P_j^d)（(P_j) 中次数恰好为 (d) 的部分）的最大秩的上界。
- 引理 3 ：任何次数为 (d) 的单项式都可以写成一些 (2d) 个线性形式的 (d) 次幂的线性组合。
- 引理 4 ：如果 (P_j^d = \Sigma_i\Pi_{u = 1}^d l_{\alpha_{iu}})，其中 (\alpha_{iu} \in [r])，那么 (P_j^d = \Sigma_{q = 1}^v c_q L_q^d)，其中 (v \leq \binom{d + r}{r})。
- 引理 5 ：给定一个线性形式 (l) 和正整数 (t)，对于变量集 (X) 划