84、具有少量对称和阈值门的 AC0 电路的相关性界限

具有少量对称和阈值门的 AC0 电路的相关性界限

1. 引言

在计算复杂性理论中，理解布尔电路的计算能力是一个核心问题。特别是对于具有少量对称和阈值门的 AC0 电路，研究其与某些函数的相关性界限具有重要意义。本文将探讨这些电路与特定函数之间的相关性，并给出相应的界限。

2. 候选困难函数与分布

2.1 函数 (f_{m,k,r}) 的定义

对于任意的 (n, m, k, r \in N) 且 (n = mkr)，定义函数 (f_{m,k,r} : {0, 1}^n \to {0, 1}) 如下：
[f_{m,k,r}(x) = \bigwedge_{u = 1}^{m} \bigwedge_{v = 1}^{k} \bigwedge_{w = 1}^{r} x_{u,v,w}]
这个函数最初由 Razborov 和 Wigderson 定义，用于证明针对 (MAJ \circ SYM \circ AND) 类的 (n^{\Omega(\log n)}) 下界。Hansen 和 Miltersen 证明了该函数实际上不能由大小为 (n^{o(\log n)}) 的 (MAJ \circ SYM \circ AC0) 电路计算。Viola 进一步利用这个函数和 Nisan 与 Wigderson 的思想，提出了针对具有最多 (\varepsilon \log^2 n) 个对称门（(\varepsilon) 为小常数）的 AC0 电路类的伪随机生成器。

2.2 (f_{m,k,r}) - 类似函数

如果存在比特 (b, b_{u,v} \in {0, 1}) 对于每个 ((u, v) \in [m] \times [k])，使得函数 (g : {0, 1}^{mkr} \to {0, 1}) 满足：
[g(x) = b \oplus \bigwedge_{u = 1}^{m} \bigwedge_{v = 1}^{k} (\bigwedge_{w = 1}^{r} x_{u,v,w} \oplus b_{u,v})]
则称 (g) 为 (f_{m,k,r}) - 类似函数。

2.3 函数 (MOD_q) 与分布 (D_q)

给定整数 (q \in N)，定义函数 (MOD_q : {0, 1}^n \to {0, 1}) 为：
[MOD_q(x_1, \ldots, x_n) = \begin{cases}
0, & \text{如果 } \sum_{i = 1}^{n} x_i \equiv 0 \pmod{q} \
1, & \text{否则}
\end{cases}]
分布 (D_q) 是通过以下采样过程在 ({0, 1}^n) 上诱导的分布：随机选择一个 (b \in {0, 1})，并均匀选择一个输入 (x) 使得 (MOD_q(x) = b)。

3. 有用的引理

3.1 引理 1

设 (g : {0, 1}^n \to {0, 1}) 是由大小为 (M) 的 (ANY_t \circ SYM \circ AND_k) 电路计算的任意布尔函数。那么，对于 (g) 的 (n) 个输入变量的任何划分为 (k + 1) 个集合，(g) 的 NOF ((k + 1)) - 多方通信复杂度被 (O(kt \log M)) 界定。

3.2 推论 1

考虑变量划分 (X = {x_{u,v,w} | u \in [m], v \in [k], w \in [r]}) 为集合 (X_1, \ldots, X_k)，使得对于每个 (j \in [k])，有 (X_j = {x_{u,j,w} | u \in [m], w \in [r]})。设 (P) 是一个 (k) - 方 (\varepsilon) - 误差通信复杂度协议，其复杂度至多为 (\frac{1}{10}(m/4k - \log(1/\gamma))) 比特，用于计算布尔函数 (h)，其中第 (j) 方将 (X_j) 中的变量值作为输入比特。那么对于任何 (f_{m,k,r}) - 类似函数 (g)，有 (Corr(h, g) \leq \varepsilon + \gamma)。

3.3 引理 2

固定任意大小为 (M) 的 (k) - DNF 集合 (F)。对于任何 (t \in N)，存在一个高度至多为 (n^k \log M / (\log n)^t) 的树限制 (T)，使得：
[Pr_{\ell \sim \mu_T} [\ell \text{ 不是 } (\log n)^{10kt}2^k\text{ - 限制的对于 } F] \leq \frac{1}{2^{n/(2^{10k}(\log n)^t)}}]

4. 多项式大小电路的相关性界限

4.1 主要引理

固定常数 (d \in N) 和 (0 \leq \varepsilon \leq \frac{1}{10d})。同时固定互质的 (q, s \in N)。设 (c \leq \varepsilon \log \log n / 100) 且 (k = 10c / \varepsilon)。设 (g : {0, 1}^n \to {0, 1}) 表示函数 (f_{n^{1 - d\varepsilon/k},k,n^{\varepsilon d}})。设 (C) 是任何大小 (M \leq n^c) 且深度 (d \geq 2) 的 (ANY_t \circ G \circ AC0) 电路，其中 (G \in {SYM, THR, MOD_s})。则有：
- (a) 如果 (G = SYM) 且 (t \leq n^{1 - 2\varepsilon d})，则 (Corr(g, C) \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon d})))。
- (b) 如果 (G = THR) 且 (t \leq n^{0.5 - 2\varepsilon d})，则 (Corr(g, C) \leq \exp(-\Omega_d(n^{0.5 - 2\varepsilon d})))。
- (c) 如果 (G = MOD_s) 且 (t \leq n^{1 - 2\varepsilon d})，则 (Corr_{D_q}(MOD_q, C) \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon d})))。

4.2 证明思路

证明过程如下：
1. 迭代简化电路 ：使用引理 2 和随机限制迭代地简化电路 (C)，直到得到一个深度为 3 的 (ANY_t \circ G \circ AND_{k - 1}) 电路（高概率）。
2. 保持函数困难性 ：证明函数 (g) 仍然“困难”，即它包含一个 (f_{m’,k,r’}) 的副本，其中 (m’) 足够大且 (r’ \geq 1)。
3. 应用引理和推论 ：应用引理 1 证明电路 (C) 计算的函数具有高效的 (k) - 方协议，然后使用推论 1 来界定电路 (C) 与函数 (g) 的受限版本之间的相关性。

4.3 电路简化步骤

在 (d - 2) 步中构造树限制 (T_i) 来简化电路，每一步的具体过程如下：

4.3.1 第 (i) 步的初始条件

在第 (i) 步开始时，有一个树限制 (T_i)（初始为空）。在 (T_i) 的“大多数”叶子处，电路已被显著简化，这些叶子标记为“好”，其余叶子标记为“坏”。限制 (T_i) 满足以下性质：
- (P1) (Pr_{\ell \sim \mu_{T_i}} [\ell \text{ 是坏的}] \leq (i - 1) \exp(\Omega_d(-n^{1 - \varepsilon d})))。
- (P2) 对于 (T_i) 的任何好叶子 (\ell)，存在一个电路 (C_{\ell}) 计算与 (C| {\ell}) 相同的函数，但深度至多为 (d + 2 - i) 且底部扇入 (< k)。在 (i = 1) 时，假设电路 (C) 的深度为 (d + 1) 且底部扇入为 1。经过 (d - 2) 步后，(C {\ell}) 是一个大小至多为 (M \cdot 2^k) 的 (ANY_t \circ G \circ AND_{k - 1}) 电路。
- (P3) 对于好叶子 (\ell)，设 (F_{\ell}) 表示 (k) - DNF 集合 (F)，使得 (F) 或 (\neg F)（(k) - CNF）作为 (C_{\ell}) 的深度为 2 的子电路出现。在简化电路 (C) 的过程中，始终确保 (|F_{\ell}| \leq M)。
- (P4) 对于任何好叶子 (\ell)，(g| {\ell}) 是 (f {m_{\ell},k,r_{\ell}}) - 类似函数，其中 (m_{\ell} \geq n^{1 - \varepsilon d} / k^{2i - 1})，(r_{\ell} \geq n^{\varepsilon(d + 1 - i)} / 4^{i - 1})。设 (n_{\ell} = m_{\ell}kr_{\ell}) 为 (g| {\ell}) 依赖的变量数量。注意对于每个 (i \in [d - 2])，(n {\ell} = \Omega_d(n^{1 - \varepsilon(i - 1)}) > \sqrt{n})。

4.3.2 第 (i) 步的两个阶段

• 阶段 (i.1) ：对电路 (C_{\ell}) 应用引理 2（(t = 3)），得到一个高度至多为 (n_{\ell}k \log M / (\log n_{\ell})^3 = O(n_{\ell} / \log n)) 的树限制 (T)。如果 (T) 的叶子 (\ell’) 不是 ((\log n)^{30k}2^k) - 限制的对于 (F_{\ell})，则标记为“坏”。(T) 满足 (Pr_{\ell’ \sim \mu_T} [\ell’ \text{ 是坏的}] \leq \exp(-n_{\ell} / (2^{10k}(\log n_{\ell})^3)) \leq \exp(\Omega_d(-n^{1 - \varepsilon d})))。如果 (\ell’) 是好叶子，则继续扩展限制。
• 阶段 (i.2) ：对 (T’) 的好叶子应用随机限制，得到最终的树限制 (T’‘)。选择一个大小为 (n_{\ell} / n^{\varepsilon}) 的幸存变量子集 (S)，如果 (S) 满足一定条件，则称其为“好”。对于好的 (S)，固定所有 (S’) 之外的变量到所有可能的值，得到的所有叶子标记为“好”。

4.4 相关性界限的证明

经过 (d - 2) 步后，在 (T_{d - 2}) 的任何好叶子 (\ell) 处，函数 (g| {\ell}) 是 (f {m’,t,r’}) - 类似函数，其中 (m’ \geq m / 2^d) 且 (r’ \geq 1)。同时，在任何好叶子 (\ell) 处，函数 (C| {\ell}) 可以由大小至多为 (M \cdot 2^k) 的 (ANY_t \circ G \circ AND {k - 1}) 电路计算。当 (G = SYM) 时，根据引理 1，对于任何变量划分，函数 (C| {\ell}) 可以由一个确定性的 (k) - 方协议使用至多 (t(k + 1) \log(M \cdot 2^k) = o(m’ / 4k)) 比特的通信来计算。使用推论 1，可得 (Corr(C| {\ell}, g| {\ell}) \leq \exp{-\Omega(m’ / 4k)} + \exp{-\Omega(m’ / k4^k \log n)} \leq \exp{-\Omega_d(m / (\log n)^2})。
最终，有：
[Corr(g, C) \leq E {\ell \sim \mu_{T_d}} [Corr(g| {\ell}, C| {\ell})] \leq Pr_{\ell} [\ell \text{ 是坏的}] + E_{\ell} [Corr(g| {\ell}, C| {\ell}) | \ell \text{ 是好的}] \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - \varepsilon d})) + E_{\ell} [Corr(g| {\ell}, C| {\ell}) | \ell \text{ 是好的}]]
结合好叶子处的相关性界限，可得 (Corr(g, C) \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - \varepsilon d})) + \exp{-\Omega_d(m / (\log n)^2} \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - \varepsilon(d + 1)})))，从而证明了引理。

4.5 电路简化流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[第1步];
    B --> C{叶子好坏判断};
    C -- 好 --> D[阶段i.1];
    C -- 坏 --> E[不扩展限制];
    D --> F{叶子好坏判断};
    F -- 好 --> G[阶段i.2];
    F -- 坏 --> E;
    G --> H[标记叶子为好];
    H --> I{是否完成d - 2步};
    I -- 否 --> B;
    I -- 是 --> J[结束];

4.6 性质表格

性质	描述
(P1)	(Pr_{\ell \sim \mu_{T_i}} [\ell \text{ 是坏的}] \leq (i - 1) \exp(\Omega_d(-n^{1 - \varepsilon d})))
(P2)	对于 (T_i) 的好叶子 (\ell)，(C_{\ell}) 深度至多为 (d + 2 - i) 且底部扇入 (< k)，经过 (d - 2) 步后为 (ANY_t \circ G \circ AND_{k - 1}) 电路
(P3)	对于好叶子 (\ell)，(
(P4)	对于好叶子 (\ell)，(g

5. 无限制位置门的 AC0 电路相关性界限

5.1 定理描述

固定常数 (d \in N) 和 (\varepsilon > 0) 使得 (\varepsilon \leq 1/20d)。设 (g) 如定理 3 中所定义。设 (C) 是任何大小至多为 (M = n^c) 且深度为 (d) 的 (AC0[G, t]) 电路，其中 (c \leq \varepsilon \log \log n / 200) 且 (G \in {SYM, THR, MOD_s}) 对于一个固定常数 (s \in N)。则有：
- (a) 如果 (G = SYM) 且 (t = o(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)}))，则 (Corr(g, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})})。
- (b) 如果 (G = THR) 且 (t = o(n^{0.5 - 2\varepsilon(d + 2)}))，则 (Corr(g, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{0.5 - 2\varepsilon(d + 2)})})。
- (c) 如果 (G = MOD_s)，(t = o(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)}))，且 (q) 是与 (s) 互质的（常数）数，则 (Corr_{D_q}(MOD_q, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})})。

5.2 证明过程

设 (t) 为电路 (C) 中类型为 (G) 的门的数量。证明过程如下：
1. 构建决策树 ：
- 电路 (C) 可以写成一个高度为 (t) 的决策树 (T)，其中决策树的每个节点查询一个大小至多为 (M) 的 (G \circ AC0) 电路的值。
- 具体过程为：设 (V_1, \ldots, V_t) 表示电路 (C) 中按拓扑排序的 (G) 门。不失一般性，假设 (V_t) 是输出门，否则可在输出处添加一个“虚拟” (G) 门。依次查询门 (V_1) 在输入 (x) 上的输出并代入电路，然后查询门 (V_2) 在修改后的电路上的输出，以此类推。经过 (t) 次查询，可得到电路在输入 (x) 上的输出。
2. 分析决策树路径 ：
- 考虑决策树 (T) 中的任何接受路径 (p)，接受恰好由路径 (p) 接受的输入的布尔函数 (C_p) 由一个大小至多为 (M^t < n^{c + 1}) 且深度至多为 (d + 2) 的 (AND_t \circ G \circ AC0) 电路计算。
- 由于不同路径接受不相交的输入集，有 ((-1)^{C(x)} = \left(\sum_{接受路径 p} (-1)^{C_p(x)}\right) - (N - 1))，其中 (N \leq 2^t) 是决策树 (T) 的接受路径总数。
- 对于任何分布 (D) 和函数 (f)，有 (Corr_D(C, f) = \left|E_{x \sim D}[(-1)^{f(x)} \cdot (-1)^{C(x)}]\right| \leq \sum_{接受路径 p} Corr_D(f, C_p) + 2^t \cdot Corr_D(f, 0))，其中 (0) 表示全零函数。
3. 应用主要引理 ：
- 因为每个 (C_p) 和全零函数都可以由小的 (ANY_t \circ G \circ AC0) 电路计算，深度至多为 (d + 2)，所以可以使用主要引理（引理 3）来界定 (C) 与所选困难函数 (f) 的相关性。
- 当 (G = SYM) 时，根据引理 3，对于每个 (p)，有 (Corr(g, C_p) \leq \exp(-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})))，同理对于全零函数也成立。因此，(Corr(g, C) \leq 2^{t + 1} \cdot \exp(-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})) = \exp(-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})))。

5.3 决策树构建流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[查询V1输出];
    B --> C[代入电路];
    C --> D[查询V2输出];
    D --> E[代入电路];
    E --> F{是否查询完Vt};
    F -- 否 --> D;
    F -- 是 --> G[得到输出];
    G --> H[构建决策树T];
    H --> I[结束];

5.4 不同情况相关性界限表格

(G) 类型	条件	相关性界限
(SYM)	(t = o(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)}))	(Corr(g, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})})
(THR)	(t = o(n^{0.5 - 2\varepsilon(d + 2)}))	(Corr(g, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{0.5 - 2\varepsilon(d + 2)})})
(MOD_s)	(t = o(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)}))，(q) 与 (s) 互质	(Corr_{D_q}(MOD_q, C) \leq 2^{-\Omega_d(n^{1 - 2\varepsilon(d + 2)})})

6. 伪随机生成器应用

6.1 推论描述

固定任何常数 (d \in N) 和 (\delta, \eta > 0)。假设 (c = c(n) = o(\log \log n))。则存在多项式时间可计算的函数 (G_{SYM} : {0, 1}^{n^{\delta}} \to {0, 1}^n) 和 (G_{THR} : {0, 1}^{n^{\delta}} \to {0, 1}^n)，使得：
- (G_{SYM}) 是大小为 (n^c) 且深度为 (d) 的 (AC0[SYM, n^{1 - \eta}]) 电路类的伪随机生成器，误差至多为 (\exp{-n^{\delta(1 - \eta)/2}})。
- (G_{THR}) 是大小为 (n^c) 且深度为 (d) 的 (AC0[THR, n^{0.5 - \eta}]) 电路类的伪随机生成器，误差至多为 (\exp{-n^{\delta(1 - \eta)/4}})。

6.2 应用意义

虽然该伪随机生成器的种子长度比 Viola 构造的要差，但它适用于更多的对称和阈值门，并且给出了指数级小的误差。其证明基于 Nisan 和 Wigderson 的通用构造。

6.3 伪随机生成器特性表格

伪随机生成器	适用电路类	误差
(G_{SYM})	(AC0[SYM, n^{1 - \eta}]) 电路（大小 (n^c)，深度 (d)）	(\exp{-n^{\delta(1 - \eta)/2}})
(G_{THR})	(AC0[THR, n^{0.5 - \eta}]) 电路（大小 (n^c)，深度 (d)）	(\exp{-n^{\delta(1 - \eta)/4}})

综上所述，本文深入研究了具有少量对称和阈值门的 AC0 电路与特定函数之间的相关性界限，通过一系列引理和证明过程，得到了多项式大小电路和无限制位置门的 AC0 电路的相关性界限，并给出了在伪随机生成器构造方面的应用。这些结果对于理解布尔电路的计算能力和设计高效的伪随机生成器具有重要意义。