20、组合拍卖中的最优分配与阈值电路的扇入和能量研究

组合拍卖中的最优分配与阈值电路的扇入和能量研究

在组合拍卖和阈值电路领域，有许多重要的研究成果。下面将分别介绍组合拍卖中不同效用函数下的最优分配问题，以及阈值电路计算模函数时扇入和能量之间的关系。

组合拍卖中的最优分配

在组合拍卖中，不同的效用函数会导致不同的最优分配问题复杂度。

具有总替代二次效用函数的最优分配

通过构建一个图 $\hat{G} = (\hat{V}, \hat{E})$ 来解决最优分配问题。具体构建步骤如下：
- 定义顶点集 $\hat{V} = {r} \cup V \cup \bigcup_{i = 1}^{m} V_i$，其中 $V_i = {v_i^S | S \in F_i}$，且对于每个 $i \in M$ 和 $u \in V$，有 $v_i^{ {u}} \in V_i$。
- 定义边集 $\hat{E} = E_0 \cup \bigcup_{i = 1}^{m} E_i$，其中：
- $E_0 = {(u, v_i^{ {u}}) | u \in V, i \in M}$，每条边的容量区间为 $[0, 1]$，成本为 0。
- $E_i = {(v_i^X, r) | X \in F, \text{ maximal in } F} \cup {(v_i^X, v_i^{\rho(X)}) | X \in F_i, \text{ not maximal in } F_i}$，对于非最大集 $X \in F_i$，$\rho(X)$ 表示 $F_i$ 中包含 $X$ 的唯一最小集。边 $(v_i^X, r)$ 或 $(v_i^X, v_i^{\r