20、组合拍卖中的最优分配与阈值电路的计算特性

组合拍卖中的最优分配与阈值电路的计算特性

1. 组合拍卖中的最优分配问题

1.1 具有总替代二次效用函数的最优分配

在组合拍卖的最优分配问题中，对于具有总替代二次效用函数的情况，我们可以通过构建一个图 $\hat{G} = (\hat{V}, \hat{E})$ 来解决。具体构建过程如下：
- 顶点集 $\hat{V}$ ：$\hat{V} = {r} \cup V \cup \bigcup_{i=1}^{m} V_i$，其中 $V_i (i \in M)$ 定义为 $V_i = {v_i^S | S \in F_i}$，且对于每个 $i \in M$ 和 $u \in V$，有 $v_i^{ {u}} \in V_i$。
- 边集 $\hat{E}$ ：$\hat{E} = E_0 \cup \bigcup_{i=1}^{m} E_i$，其中：
- $E_0 = {(u, v_i^{ {u}}) | u \in V, i \in M}$；
- $E_i = {(v_i^X, r) | X \in F, \text{ maximal in } F} \cup {(v_i^X, v_i^{\rho(X)}) | X \in F_i, \text{ not maximal in } F_i}$，对于每个非最大集 $X \in F_i$，$\rho(X)$ 表示 $F_i$ 中包含 $X$ 的唯一最小集 $Y$。

各边的容量和成本设置如下：
|边集|容量|成本|
|----|----|----|
|$E