26、图算法中的支配集与动态顶点最小问题

图算法中的支配集与动态顶点最小问题

1. 支配集问题相关结论

在图论的研究中，支配集问题有着重要的地位。通过相关推导得出：
[d_G(z) = d_{G_0}(z) \leq d_{G_1}(z) \leq 2d_{G_2}(z) \leq 24g(g + 3) < 24g(g + 3) + 1]
但此结果与证明开始所做的假设相矛盾。

另外，在归约过程中，其时间复杂度为 (O(n^2))。并且在任何有界亏格 (g) 的约简黑白图中，至少存在一个度数至多为 (24g(g + 3)) 的节点。结合这些结果，在并入归约过程后，基本算法的时间复杂度为 (O((24g^2 + 72g + 1)kn^2))。

2. 动态顶点最小问题概述

动态顶点最小问题（DVMP）旨在维护一个图中，在顶点进行添加和删除操作时的最小成本边。该问题抽象了 Goemans 和 Williamson（GW）的原始 - 对偶近似方案中使用的聚类操作。

以往 GW 算法的实现存在不同的时间复杂度：
| 实现方式 | 时间复杂度 |
| ---- | ---- |
| 原始实现 | (O(n^2 \log n)) |
| 改进实现 1 | (O(n(n + \sqrt{m} \log \log n))) |
| 改进实现 2 | (O(n\sqrt{m} \log n)) |

而本文提出的算法将时间复杂度改进为 (O(n\sqrt{m}))。对于稠密图情况 (m = \Theta(n^2))，能达到 (O(n^2)) 的时间复杂度。以下是该算法在不同问题中的应用及时间复杂度表现： <