伽马函数是阶乘向实数域的延拓，与贝塔函数有密切关系。本文介绍了伽马函数的定义、性质，包括它如何与贝塔函数和阶乘相关联，并通过余元定理和一系列引理的证明探讨了其内在联系。
伽马函数
定义
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t Γ(x)= \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt
性质
与贝塔函数的关系
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t B(x,y)= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt
B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) / Γ ( x + y ) B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
证明
只需证明 Γ(x)Γ(y) = B(x,y)Γ(x+y)
Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t ∗ ∫ 0 + ∞ t y − 1 e − t d t = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ t x − 1 s y − 1 e − ( t + s ) d s d t = 4 ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ u 2 x − 2 v 2 y − 2 e − ( u 2 + v 2 ) u v d u d v ( t = u t , s = v t ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∣ u ∣ 2 x − 1 ∣ v ∣ 2 y − 1 e − ( u 2 + v 2 ) d u d v = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 2 π r ∣ r c o s θ ∣ 2 x − 1 ∣ r s i n θ ∣ 2 y − 1 e − r 2 d θ d r ( u = r c o s θ , v = r s i n θ ) = ∫ 0 + ∞ r 2 x + 2 y − 1 e − r 2 d r ∗ ∫ 0 2 π ∣ c o s θ ∣ 2 x − 1 ∣ s i n θ ∣ 2 y − 1 d θ = 1 2 ∫ 0 + ∞ ( r 2 ) x + y − 1 e − r 2 d ( r 2 ) ∗ 4 ∫ 0 π 2 ∣ c o s θ ∣ 2 x − 1 ∣ s i n θ ∣ 2 y − 1 d θ = Γ ( x ) Γ ( y ) ∗ ∫ 0 1 l x − 1 ( 1 − l ) y − 1 d l ( l = c o s 2 θ ) = Γ ( x ) Γ ( y ) B ( x , y ) \begin{aligned} Γ(x)Γ(y) &= \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt * \int_0^{+\infty} t^{y-1}e^{-t}dt \\ &= \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} t^{x-1}s^{y-1} e^{-(t+s)}dsdt \\ &= 4\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} u^{2x-2}v^{2y-2} e^{-(u^2+v^2)}uvdudv\ \ \ \ (t=u^t,s=v^t) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} |u|^{2x-1}|v|^{2y-1} e^{-(u^2+v^2)}dudv \\ &= \int_0^{+\infty}\int_0^{2\pi} r|rcosθ|^{2x-1}|rsinθ|^{2y-1}e^{-r^2}dθdr\ \ \ \ (u=rcosθ,v=rsinθ) \\ &= \int_0^{+\infty} r^{2x+2y-1}e^{-r^2}dr * \int_0^{2\pi}|cosθ|^{2x-1}|sinθ|^{2y-1}dθ \\ &= \frac12 \int_0^{+\infty} (r^2)^{x+y-1}e^{-r^2}d(r^2) * 4\int_0^{\frac \pi 2}|cosθ|^{2x-1}|sinθ|^{2y-1}dθ \\ &= Γ(x)Γ(y) * \int_0^1 l^{x-1}(1-l)^{y-1} dl\ \ \ \ (l=cos^2θ) \\ &= Γ(x)Γ(y)B(x,y) \end{aligned} Γ(x)Γ(y)=∫0+∞tx−1e−tdt∗∫0+∞ty−1e−tdt=∫0+∞∫0+∞tx−1sy−1e−(t+s)dsdt=4∫0+∞∫0+∞u2x−2v2y−2e−(u2+v2)uvdudv (t=ut,s=vt)=∫−∞+∞∫−∞+∞∣u∣2x−1∣v∣2y−1e−(u2+v2)dudv=∫0+∞∫02πr∣rcosθ∣2x−1∣rsinθ∣2y−1e−r2dθdr (u=rcosθ,v=rsinθ)=∫0+∞r2x+2y−1e−r2dr∗∫02π∣cosθ∣2x−1∣sinθ∣2y−1dθ=21∫0+∞(r2)x+y−1e</
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