准素分解定理

准素分解定理

设σ是n维向量空间V上一个线性变换，p(x)是σ的最小多项式.令
$$p(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{r_1}...(x-{\lambda }_k{)}^{r_k}$$
是p(x)在复数域Q上的不可约因式分解，这里${\lambda }_1,...,{\lambda }_k$是互不相同的复数，$r_1,...,r_k$是正整数.又设
V i = K e r ( ( σ − λ i ) r i ) = { ξ ∣ ξ ∈ V , ( σ − λ i ) r i ( ξ ) = 0 } , i = 1 , . . . , k V_i = Ker((σ-λ_i)^{r_i}) = \{ξ|ξ\in V,(σ-λ_i)^{r_i}(ξ) = 0\}, i = 1,...,k Vi​=Ker((σ−λi​)ri​)={ ξ∣ξ∈V,(σ−λi​)ri​(ξ)=0},i=1,...,k
那么
(i)$V_i$在σ下不变
(ii)$V=V_1\oplus V_2\oplus ...\oplus V_k$
(iii)令${\sigma }_i=\sigma {|}_{V_i}是\sigma 在V_i$上的限制， 那么${\sigma }_i$的最小多项式为$(x-{\lambda }_i$