Q上多项式可约性深化定理

Q上多项式可约性深化定理

令Z[x]是整数环Z上的多项式环， 对于$f(x)\in Z[x]$, 且f(x)在有理数域Q上可约，则一定存在非零次多项式$g(x),h(x)\in Z[x]$,使得$f(x)=g(x)\ast h(x)$。

证明

引理1(高斯引理)

本原多项式

$f(x)\in Z[x]$，且f(x)的系数$a_0,...,a_n$互素(n>0)，则称为本原多项式

高斯引理描述

两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

高斯引理证明

f(x),g(x)是两个本原多项式，它们的系数分别是$a_0,...,a_n$和$b_0,...,b_m$, 它们的乘积为h(x),其系数为$c_0,...,c_r$(r=m+n), 则
$$c_k=\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j$$
反证法来证明。假设h(x)的系数$c_0,...,c_r$有公约素数p。
假设 a s 是 a 0 , . . . , a n a_s是a_0,...,a_n a