poj 2409 polya计数

最新推荐文章于 2018-08-09 14:35:10 发布

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本文介绍了一种使用Burnside算法解决组合计数问题的方法，具体针对的是如何计算不同颜色方案下形成的独特项链数量。通过考虑旋转和翻转操作，文章详细阐述了算法背后的数学原理，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定一串由n个珠子组成的项链，用c种颜色涂染，问能形成多少种不同项链。

思路：Burnside算法。分析：

1.旋转.

考虑顺时针旋转i格的置换:

循环个数为gcd(n,i)

每个循环的长度为L=n/gcd(n,i)

2.翻转

考虑对称轴

***n为奇数. 只有一种对称轴, 即轴穿过一个点. 有[n/2]个循环长度为2, 还有一个循环长度为1(被穿过的点), V=C([n/2], [m/2]).

***n为偶数, 有两种翻转

轴每边n/2个点. 这样的置换有n/2个

轴穿两点, 每边n/2个点. 这样的置换也有n/2个

算法复杂度分析：很容易可以算出这个算法的时间复杂度为O(n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
int m,n;
int gcd(int x,int y){
    if (!y)
        return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main(){
    while(scanf("%d %d",&m,&n) && (m+n)){
        int i;
        long long res = 0;
        for (i = 0;i<n;i++)
            res += pow(m,gcd(n,i));
        if (n&1)
            res += n*pow(m,n/2+1);
        else
            res += n/2*(pow(m,n/2)+pow(m,n/2+1));
        printf("%lld\n",res/n/2);
    }
    return 0;
}