poj 1183 数学推导（反正切函数的应用）

最新推荐文章于 2024-03-09 09:59:01 发布

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本文探讨了如何解决形如arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)的方程，其中a、b、c为正整数。文章给出了寻找b+c最小值的有效算法，并提供了具体的实现代码。

题意：根据角度和的正切函数公式tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式，通过简单的变换得到： arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
如令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有 arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
我们将上述公式写成如下形式，arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

其中a,b和c均为正整数。我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。

思路：参考discuss的精彩推导：

1/a = (1/b + 1/c)/ (1 - 1/(b*c))
=> bc-1 = a(b+c)
assume b=a+m and c=a+n (b and c is always bigger than a)
(a+m)(a+n)-1=a(a+m+a+n)
=> a*a+a*n+a*m+m*n-1=2*a*a+m*a+n*a
=> m*n=a*a+1
and then
for(m=a;m>=1;m--)
if((a*a+1)%m==0)
break;
n=(a*a+1)/m

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define clc(s,t) memset(s,t,sizeof(s))
#define INF 0x3fffffff
#define N 3005
int a,b;
int main(){
    long long  a,m,n;
    scanf("%lld",&a);
    for(m=a;m>=1;m--)
        if((a*a+1)%m==0)
            break;
    n=(a*a+1)/m;
    printf("%lld\n",m+n+2*a);
    return 0;
}