对称素数

• 对称素数：一个整数m的逆序数就是m本身，则称m为对称数，一个整数m如果是对称数又是素数，则称m为对称素数；

例如101，131，929等都是3位对称素数，表现为左右对称；

试统计指定n（1< n <10）位对称素数的个数，并输出其中最大的对称素数；

1.说明：

对于每一个n位奇数m通过以下两道检测：

1. 应用试商判别法检测是否为素数，如果不是素数，则返回；
2. 分离m的n个数字存储与数组h[j]（j=1~n），若j=1~n/2中的某一个出现有 h[j]!=h[n-j+1]，m不是对称数，则返回；

凡通过以上两道检测的为n位对称素数，应用s统计个数，并记录其中的最大数；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int a,b,c,g,i,j,n,s,h[10];
   long m,max,d,t;
   printf("请输入位数n(n>1):");
   scanf("%d",&n);
   s=0;
   t=1;
   a=n/2;
   for(j=1;j<=n-1;j++)  /*计算最小的n位整数t*/
      t=t*10;
   for(m=t+1;m<=(10*t-1);m=m+2)  /*枚举最小的n位奇数*/
   {
      if(m%5==0)
         continue;
      d=m;
      b=0;
      for(j=0;j<=9;j++)
         h[j]=0;
      for(j=1;j<=n;j++)
      {
         c=d%10;
         h[j]=c;
         d=d/10;
      }
      for(j=1;j<=a;j++)
         if(h[j]!=h[n-j+1])
         {
            b=1;
            break;
         }
      if(b==0)    /*b=0时m为对称数*/
      {
         for(g=0,i=2;i<=sqrt(m);i++)
            if(m%i==0)
            {
               g=1;
               break;
            }
         if(g==0)  /*g=0时m为对称素数，s统计*/
         {
            s++;
            max=m;
         }
      }
   }
   printf("%d位对称素数共有%d个。\n",n,s);
   if(s>0)
      printf("其中最大的对称素数为:%ld\n",max);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入位数n(n>1):7
7位对称素数共有668个。
其中最大的对称素数为:9989899

• 当n为偶数时，是否存在偶数位对称素数？

注意：因偶数位对称数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和相等，该数能被11整除。也就是说，除了11这唯一偶数位对称素数之外，不存在其他偶数位对称素数；

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程序改进与拓广

1.说明：

以上程序枚举n位奇数，很多都是无效循环，精简枚举次数是改进设计的关键所在；

注意到对称数首尾对应数字相同的特点，对于奇数n位，只要枚举k=(n+1)/2位整数即可，例如，当n=11时，只要枚举k=6位整数，其他5位根据“对称”赋值即可；

简单枚举k=(n+1)/2位整数也存在问题，其k位整数的首位即最高位不为“0”，可能会产生遗解，因此采用k位整数除个位数字为奇数外，其他各位均取0~9；

程序按n=11设计，即枚举6位，若n<11时，把相应多余循环设置为空循环；

例如，当输入n=9时，设置q[6]=0，因而for(p[6]=0;p[6]< q[6];p[6]++)为空循环，以此类推；

循环中，m为枚举的k=(n+1)/2位整数，e为对称对应的高(n-1)/2位整数，组合为n位整数e即为对称数，设置试商检测素数即可；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int g,i,j,k,n,p[7],q[7];
   long s;
   double e,f,m,max;
   printf("请输入奇数n(n<=11):");
   scanf("%d",&n);
   k=(n+1)/2;
   for(i=1;i<=k;i++)
      q[i]=9;
   for(i=k+1;i<=6;i++)
      q[i]=0;
   s=0;
   max=0;
   for(p[6]=0;p[6]<=q[6];p[6]++)
    for(p[5]=0;p[5]<=q[5];p[5]++)
     for(p[4]=0;p[4]<=q[4];p[4]++)
      for(p[3]=0;p[3]<=q[3];p[3]++)
       for(p[2]=0;p[2]<=9;p[2]++)
        for(p[1]=1;p[1]<=9;p[1]=p[1]+2)
        {
           if(p[1]==5)
              continue;
           e=0;
           m=0;
           f=10;
           for(j=1;j<=k-1;j++)
           {
              e=e*10+p[j];
              f=f*10;
              m=m*10+p[k+1-j];
           }
           m=m*10+p[1];
           e=e*f+m;
           for(g=0,i=3;i<=sqrt(e);i=i+2)
              if(fmod(e,i)==0)
              {
                 g=1;
                 break;
              }
           if(g==0)
           {
              s++;
              if(max<e)
                 max=e;
           }
        }
        printf("\n%d位对称素数共有%ld个。\n",n,s);
        if(s>0)
           printf("其中最大的对称素数为:%0.f\n",max);
}

程序运行示例及其注意事项：

请输入奇数n(n<=11):9
9位对称素数共有5172个。
其中最大的对称素数为:999727999

注意：尽管已经精简了循环，程序的时间复杂度还是指数级的，当n比较大时程序运行的时间还是比较长。例如，n=11时搜索用了近10分钟；

• 变通：在以上程序基础上增加二层循环，同时增加一个输出语句，可以探索到部分n=13或15位对称素数；

例如搜索到9830000000389为13位对称素数，916540000045619为15位对称素数；

注意到n=13或15位对称素数的数量太大，全部搜索时间会更长；