十六进制对称素数

最新推荐文章于 2025-04-15 22:18:40 发布

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#dfs #算法 #c++

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本文探讨如何利用DFS算法统计给定范围内的十六进制对称素数，如11H和13H，通过优化素数判断实现高效计算，揭示在1020范围内存在3个这样的特殊素数。

题目描述

如果一个素数转换成十六进制后是“对称”的，我们将其称为“十六进制对称素数”，例如17（11H）就是一个“十六进制对称素数”，而19（13H）虽然是素数但十六进制并不“对称”。
试统计在[n,m]范围内有多少素数是“十六进制对称素数”。

输入

两个整数n和m

输出

范围内“十六进制对称素数”的个数

样例输入

10 20

样例输出

提示

$1<n<m<2^{32}$
样例说明：[10,20]之间的素数有11（BH）,13（DH）,17（11H）,19（13H），其中11,13,17是“十六进制对称素数”

思路

通过dfs不断生成（或者也可以称为搜索）十六进制对称数，并进行判断是否为素数。素数的判断利用了“大于5的质数一定和6的倍数相邻”的性质，相比于朴素试除法节约 $23\frac{2}{3}$ 的时间。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long hx[10] = {0, 1, 16, 256, 4096, 65536, 1048576, 16777216, 268435456, 4294967296};
int n, m, res;

bool prime(long long num) {
    if (num == 2 || num == 3) return 1;
    if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) return 0;
    for (int i = 5; i <= floor(sqrt(num)); i += 6)
        if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return 0;
    return 1;
}

void dfs(int k, int bit, long long sum) {
    if (k > ceil(bit * 1.0 / 2)) {
        if (sum > m) {
            cout << res;
            exit(0);
        } else if (sum >= n && prime(sum)) ++res;
        return;
    }

    for (int i = k == 1 ? 1 : 0; i <= 15; i++) {
        dfs(k + 1, bit, sum + ((k != bit - k + 1) ? i * hx[k] + i * hx[bit - k + 1] : i * hx[k]));
    }
}

int main() {
    int cnt = 0;
    cin >> n >> m;
    int tmp = n;
    while (tmp) {
        tmp /= 16;
        ++cnt;
    }
    while (cnt) {
        dfs(1, cnt, 0);
        ++cnt;
    }
    return 0;
}