密勒补偿

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密勒补偿导致极点分裂是一个老套路了。但今天发现了一种更加科学的理解方式。

1、二阶系统

基本上所有的运放最后都要去简化到二阶。因为第一数学上一个因式可以拆成一阶和二阶。第二高阶系统是不好直观设计的。

注：直观这个词对应的原文是insight,本意是从电路本质出发，提供设计思路（直觉）的理解方式，而非数学计算。但并不代表电路是看出来的。

二阶系统的一般表达式： $\large \frac{1}{1+bs+as^2}=\frac{1}{1+2\zeta( \frac{s}{\omega_n }) +{(\frac{s}{\omega_n})}^2}$

这两种形式都非常重要。第一种是直接计算得到的传函，第二种是化成二阶阻尼系统的标准形式。

2、二阶阻尼系统

二阶系统的根轨迹如下：

由于系统的两个根是 $\large {[-\zeta\pm \sqrt{(\zeta^2-1)} ]}\cdot \omega_n$ 。所以根轨迹分成两支。

when $\large \zeta$ is less than one and normalized the roots by $\large \omega_n$ , we will get to complex poles namely $\large -\zeta\pm j\sqrt{1-\zeta^2}$ . 很明显轨迹对应单位圆。考虑到品质因数Q等于 $\large \frac{1}{2\zeta}$ ，绿线标出了品质因数。可以看到阻尼系数 $\large \zeta$ 越小，品质因数越高。对应系统能量损耗越小，系统的settle越久。这是容易注意到的部分。

接下来是不容易注意到的部分，就是 $\large \zeta$ 比1大，根变成了两个实根： $\large p_1={-\zeta+ \sqrt{(\zeta^2-1)}$ 和 $\large p_2={-\zeta- \sqrt{(\zeta^2-1)}$ 。这两个根是怎么分布的呢？P1比P2小，同时注意到两根的中心点落在 $\large -\zeta$ 处。随着 $\large \zeta$ 增大，P1往原点移动，但永远小于0。而P2往负无穷远移动。而且，注意到， $\large \zeta$ 越大，P1越靠近原点，同时对应P2越远。如果 $\large \zeta\gg 1$ ，那么可以近似P1=0，而P2=-2 $\large \zeta$ 。,更一般地， $\large p_2={-2\zeta- p_1}$ ，也就是说P1离原点越近，P2就需要离得越远。这种效应就是所谓的极点分离。

3、三电容电路：这个电路是一个benchmark。典型的例子就是二级运放。来看Miller补偿。

很多书上都有这个电路。输出 $\large V_o$ 的传函分母如下： $\large 1+s\cdot g_mr_{o1}r_{o2}C_c+s^2\cdot r_{o1}r_{o2}C_\Delta$ 。其中 $\large C_\Delta=C_1C_L+C_1C_c+C_cC_L$ 。这个式子在一阶项作了一个近似，即因为Miller效应，时间常数主要由 $\large C_c$ 决定（所以这个电容也叫Miller补偿电容）。

把这个式子整理成上面的二阶阻尼形式，可以得到 $\large \zeta=\frac{1}{2}\cdot \frac{C_2g_mr_{o1}r_{o2}}{\sqrt{c_\Delta r_{o1}r_{o2}}}$ 。显然由于分母有了一个开根号操作，导致阻尼系数是随 $\large C_c$ 增大而增大的，所以有这个所谓的极点分离作用。