DFT的本质

之前已经就DFT写过两次笔记。但后来发现又统统忘了。最近看实用数字信号处理后又有了更清晰的理解。虽然说要真正理解概率，实操才是王道，但本渣主要搞电路，对数字信号的研究也是出于更好地理解系统的需要。所以主要还是依靠阅读理解去把握这些概念。

1、频谱分析的一个盲点

很多时候我们说：“这个信号频率很高”，或者“这是一个低频信号”。

这句话看起来没问题，实际上有一个大问题。那就是，我们说的“频率”是真实的吗？

在傅里叶级数里面，我们所有的周期信号，实际上都默认它是从无穷远到无穷远的。这个信号分布在整个时间轴上。但实际的信号，就我们观测的时间而言，是有限的。假设你打开一个信号发生器，产生了一个1kHz的正弦波，并定义此时刻为t1。十秒种后你关掉了这个信号源，那么实际上你得到的时域信号，只是一个（t1,t1+10）上的正弦波形。而其他时刻都是0。

但是，如果我一定要说，这个信号是非周期的连续能量有限信号，它的频率成分是连续的频谱。你一定会打死我。因为信号源产生的就是1Khz的正弦波。而且在你观测的时间内，它确实在每1s就产生1000次振荡。于是你理所当然地认为，这个信号的频率就是1Khz。在这个过程中，你已经脑补了这个信号是永生的，信号发生器相当于一个“窗户”，你打开它，看到了这个正弦波，你关上它，它并没有消失，只是你关上窗户，看不到了而已。

为什么你摇头能听见大海的声音？因为你在脑补信号无限延续，数学上就是周期延宕操作。

2、

上面的脑补操作，多数时候对我们实际运用完全没有影响。因为从系统的角度讲，它处理的信号是持续1s还是1万年没有区别。一个RC低通滤波，你的信号发生器一旦work，不考虑开机的建立和关机的拖尾，输出稳定后用示波器看到的东西是一样的。

但假如说你想和信号源solo一把，pk一下手速，不停地按开机、关机、开机、关机…这个时候，示波器上看到的东西可能就有变化了。特别是如果你像我一样单身三十年，手速够的话，示波器上的信号会产生一个新的频率成分，就是麒麟臂的速度。

3、

DFT的操作，本质上就是一个麒麟臂。

DFT里面经典的操作是，取一个1024点的FFT。（更一般地是取FFT，由于FFT本身是DFT的快速算法，所以本文只讲DFT）

假如你的采样频率是1M。那么，相当于你截取了时长1024us的信号。

在你的脑海里，这个信号的脑补波形和原来的波形是完美复制粘贴的。但对DFT，情况就不一样了！它无法判断你取到的到底是不是一个完整的信号周期，还是2个，3个，或者是0.3个，3.5个。它脑补的操作，就是把我采样到的信号当成一个完整的周期去看。

根据傅里叶级数的想法，任何周期信号都可以通过一系列以信号周期为基波的谐波叠加得到。从时域上讲，一个周期信号，假定它的周期是T,那么用一组弦波cos和sin可以合成这个波形，这组弦