11、集合论中的替换公理及其他公理解读

集合论中的替换公理及其他公理解读

1. 背景引入与替换公理的提出

在集合论的发展中，我们曾试图从策梅洛公理出发证明一些早期的“朴素”集合论结果，但发现策梅洛公理并不充分，需要更强的集合构造原则进行补充。在20世纪20年代早期，替换公理被发现，它将被添加到公理理论ZDC中。

例如，若要证明当(A)是可数集，且(A_n = A\times\cdots\times A)（(n)次）时，(\bigcup_{n = 2}^{\infty}A_n)也是可数集。我们通常会尝试用递归定义(f(0)=A\times A)，(f(n + 1)=f(n)\times A)，使得(f(n)=A_{n + 2})和(\bigcup_{n = 0}^{\infty}A_{n + 2}=\bigcup f[\mathbb{N}])。然而，这个递归定义不能直接由递归定理5.6来证明，因为在这种情况下，没有明显的集合(E)能包含(A)及其所有乘积(A_n)，并且我们有的是一个运算(h(X)=X\times A)，而不是一个函数(h)。这表明我们需要一个能验证形如(f(0)=a)，(f(n + 1)=h(f(n)))这种递归定义的递归定理，而策梅洛公理无法严格建立这样的结果。

2. 替换公理及其相关定义

• 替换公理 ：对于每个集合(A)和每个一元确定运算(H)，(A)在(H)下的像(H[A]={H(x)|x\in A})是一个集合。从集合构造的原则来看，替换公理和分离公理一样，在直观上是合理的。如果我们把(A)看作一个完整的总体，并且(H)以明确和无歧义的方式将一个对象与每个(x\in A)关联起来，那么我们可以通过“替换”每个(x\in A