41、集合论中的不可能性证明与独立性句子解读

集合论中的不可能性证明与独立性句子解读

在数学基础领域，不可能性证明和集合论中的独立性结果是极为引人入胜的研究方向。下面我们将深入探讨相关的概念、定理以及证明方法。

1. # - 递减函数与Friedman定理

对于给定的集合 ${0,1,\ldots,n}^k$，我们为其每个子集 $A$ 都分配一个函数 $F_A : A \to A$。若满足以下条件，我们称这样的函数族是 # - 递减的：
- 对于任意的 $A \subseteq {0,1,\ldots,n}^k$ 和 $b \in {0,1,\ldots,n}^k$，要么 $F_{A\cup{b}}$ 是 $F_A$ 的扩展，即对于任意的 $a \in A$，都有 $F_A(a) = F_{A\cup{b}}(a)$；要么存在某个 $a \in A$，使得 $\max(b) < \min(a)$ 且 $F_A(a) > F_{A\cup{b}}(a)$。

Friedman定理（Theorem 34）指出，对于任意的 $k$ 和 $r$，都存在一个 $n$，使得对于任意的 # - 递减函数族 ${F_A}_{A\subseteq{0,1,\ldots,n}^k}$，都存在一个 $A \subseteq {0,1,\ldots,n}^k$ 和一个 $E \subseteq {0,1,\ldots,n}$，其中 $E$ 有 $r$ 个元素，$E^k \subseteq A$，并且在 $A$ 中最多有 $k^k$ 个元素 $b$，使得存在某个 $a \in E^k$，满足 $\max(b) < \min(a)$ 且 $F_A(a) = b$。

这个定理有两点需要解释：
- 不