10、探索贝尔空间：连续性、解析集与连续统假设

探索贝尔空间：连续性、解析集与连续统假设

1. 贝尔空间基础

贝尔空间 $N$ 定义为 $N = [N^ ]$，可以直观地将其想象成最大树 $N^ $ 的主体。在这个空间中，我们把其子集称为点集，“点” 暂时特指 $N$ 中的元素，也就是 $N^*$ 中的无限分支。点集的补集定义为 $cA = N \setminus A$。

为了更好地描述点与有限序列的关系，我们扩展了字符串的初始段符号：$u \sqsubseteq x \Leftrightarrow_{df} u \subset x$，表示有限序列 $u$ 是点 $x$ 的初始段，它能确定 $x$ 的前 $lh(u)$ 个值。对于每个 $u \in N^ $，集合 $N_u = {x \in N | u \sqsubseteq x} = [N^ _u]$ 是由 $u$ 确定的 $N$ 中的邻域。

以下是一些关于邻域的基本性质：
- 对于所有 $u, v \in N^*$，$u \sqsubseteq v \Leftrightarrow N_v \subseteq N_u$。
- 邻域族是可数的。

点集的拓扑性质定义如下：
- 点集 $G$ 是开集，如果它是邻域的并集，即 $x \in G \Leftrightarrow (\exists u)[x \in N_u \ \& \ N_u \subseteq G]$。
- 点集是闭集，如果它的补集是开集。
- 点集是既开又闭集（clopen），如果它既是闭集又是开集。

下面是一些关于点集拓扑性质的命题：
|命题|内容|
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