4、集合论中的数学对象表示与相关概念探究

集合论中的数学对象表示与相关概念探究

在集合论的研究中，我们面临一个重要问题：能否基于策梅洛公理证明朴素集合论的基本结果？事实上，朴素集合论的结果不仅涉及集合，还包括点、数、函数、笛卡尔积等众多明显并非集合的数学对象。然而，策梅洛公理仅提及集合，那么这些对象该从何处寻找呢？

1. 数学对象的集合表示方法

一种可行但略显笨拙的解决方案是，假定这些非集合对象是策梅洛理论所允许的原子，并添加表达我们关于点、数、函数等基本直觉的公理。不过，存在一种更好的方法，即通过建立对应关系，在集合的世界中为所需的数学对象找到忠实的表示。

以有向几何线 $\Pi$ 与实数集 $\mathbb{R}$ 的“等同”为例。这里的“等同”并非指点就是实数，人们对几何点的直观认识早于解析几何的发现，且与坐标并无直接关联。但通过将线上的每个点 $P$ 与其相对于固定原点 $O$ 的坐标 $x(P)$ 对应起来，我们可以在 $\mathbb{R}$ 中为 $\Pi$ 找到忠实表示。这使得我们能够用算术定义所有有用的几何概念，并像处理实数一样研究 $\Pi$ 的数学性质。例如，“法利隆（Phaliron）位于比雷埃夫斯（Piraeus）和苏尼翁（Sounion）之间的萨罗尼克海岸”这一表述，可通过不等式 $x(\text{Piraeus}) < x(\text{Phaliron}) < x(\text{Sounion})$ 来表达（假设坐标朝东方向递增）。

2. 有序对及其性质

2.1 有序对的定义与性质

有序对 $(x, y)$ 直观上是具有“第一个成员” $x$ 和“第二个成员” $y$ 的对象，它与无序对 ${x, y}$ 不同，例