17、概率测度流形上的样条插值

概率测度流形上的样条插值

在概率测度的研究中，涉及到许多重要的概念和定理，这些内容对于理解概率测度空间的几何结构至关重要。下面将详细介绍相关的内容。

1. 基本概念

• 向量范数与Fisher - Rao度量 ：向量 (v) 在概率测度 (\mu) 下的范数定义为 (\vert\vert v\vert\vert_{\mu}=\sqrt{g_{\mu}(v, v)})。在坐标映射 ((P_+(I), \phi)) 下，Fisher - Rao 度量 (g_{ij}(\mu)) 表示为：
  [
  g_{ij}(\mu) =
  \begin{cases}
  \frac{1}{\mu_i} + \frac{1}{\mu_{i + 1}}, & \text{if } i = j \
  \frac{1}{\mu_{n + 1}}, & \text{otherwise}
  \end{cases}
  ]
  其逆矩阵的元素 (g^{ij}(\mu)) 为：
  [
  g^{ij}(\mu) =
  \begin{cases}
  \mu_i(1 - \mu_i), & \text{if } i = j \
  -\mu_i\mu_j, & \text{otherwise}
  \end{cases}
  ]

2. Fisher - Rao 度量下的Levi - Civita联络

• Levi - Civita联络的定义 ：设 (