32、基于图像的视觉伺服控制详解

基于图像的视觉伺服控制详解

1. 矩阵构建与问题引入

在包含固定于惯性 0 框架中的特征点 $i = 1, … , N_p$ 的系统里，可构建矩阵 $L_{sys}$ 和 $D_{sys}$。通过堆叠相关方程，能得到系统交互矩阵 $L_{sys}$：
$\dot{u}(t) =
\begin{cases}
\dot{u} 1(t) \
\dot{u}_2(t) \
\vdots \
\dot{u} {n_p}(t)
\end{cases}
=
\begin{bmatrix}
L(u_1, v_1, Z_1) \
L(u_2, v_2, Z_2) \
\vdots \
L(u_{N_p}, v_{N_p}, Z_{N_p})
\end{bmatrix}
\underbrace{} {L {sys}}
\begin{cases}
v_{C_{0,c}} \
\omega_{C_{0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$
或简写成 $\dot{u}(t) = L_{sys}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C}_{o,\mathbb{C}}}
\end{cases}$。

对于 $N_p$ 个特征点的系统，还有类似方程。对于 $i = 1, … , N_p$：
$\begin{cases}
\dot{X} \
\dot{Y} \
\dot{Z}
\end{cases} i
=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & -Z & Y \
0 & -1 & 0 & Z & 0 & -X \
0 & 0 & -1 & -Y & X & 0
\end{bmatrix}_i
\begin{cases}
v {\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$，
$\dot{X}_i = D(X_i, Y_i, Z_i)
\begin{cases}
v {\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C}_{0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$。

堆叠这些方程可得：
$\dot{X}(t) :=
\begin{cases}
\dot{X} 1(t) \
\dot{X}_2(t) \
\vdots \
\dot{X} {n_p}(t)
\end{cases}
=
\begin{bmatrix}
D(X_1, Y_1, Z_1) \
D(X_2, Y_2, Z_2) \
\vdots \
D(X_{N_p}, Y_{N_p}, Z_{N_p})
\end{bmatrix}
\underbrace{} {D {sys}}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$
或简写成 $\dot{X}(t) = D {sys}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C}_{0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$。

有了这些矩阵，就能轻松提出并解决机器人系统控制中的一些标准问题，这里主要探讨基于图像的视觉伺服（IBVS）控制问题。

2. 控制综合与闭环方程

IBVS 控制问题是跟踪控制问题的一个具体实例。下面先明确其定义，以确定策略目标和用于反馈控制的测量值。

2.1 问题定义

假设给定一组固定于惯性框架的特征点 $i = 1, … , N_p$，设 $(u_1^ , v_1^ ), (u_2^ , v_2^ ), … , (u_{N_p}^ , v_{N_p}^ )$ 为固定在图像平面的 $N_p$ 个期望图像点位置。第 $i$ 个特征点在图像平面的跟踪误差定义为：
$e_i(t) :=
\begin{cases}
u(t) \
v(t)
\end{cases} i
-
\begin{cases}
u_i^ \
v_i^
\end{cases}$
系统在图像平面的跟踪误差为：
$e(t) :=
\begin{cases}
u_1(t) - u_1^ \
u_2(t) - u_2^ \
\vdots \
u {n_p}(t) - u_{n_p}^*
\end{cases}$

IBVS 控制问题旨在找到控制输入向量 $U(t)$，它由相机框架原点的速度 $v_{\mathbb{C} {0,c}}$ 和相机框架在惯性 0 框架中的角速度 $\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}$ 组成，即：
$U(t) :=
\begin{cases}
v {\mathbb{C} {0,c}}(t) \
\omega {\mathbb{C}_{0,\mathbb{C}}}(t)
\end{cases}$
需满足以下条件：
- 控制输入 $U(t)$ 是跟踪误差 $e(t)$ 的反馈函数，可能还涉及相机外参。
- 闭环系统的动态稳定。
- 当 $t \to \infty$ 时，跟踪误差趋近于零。

2.2 控制律推导

由于跟踪误差应渐近趋近于零，可定义控制律使闭环系统的跟踪误差满足方程：
$\dot{e}(t) = -\lambda e(t)$
其中 $\lambda$ 是正标量。此方程的解为：
$e(t) = e^{-\lambda t}e(0)$
所以，若闭环跟踪误差满足该方程，它将以指数速率趋近于零。结合跟踪误差的定义和上述方程可得：
$\dot{e}(t) = \frac{d}{dt}(u(t) - u^*) = \dot{u}(t) = L_{sys}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C}_{0,\mathbb{C}}}
\end{cases}
= -\lambda e(t)$

理想情况下，该方程能唯一求解速度 $v_{\mathbb{C} {0,c}}$ 和角速度 $\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}$。但系统交互矩阵通常不是方阵，因为 $L {sys} \in \mathbb{R}^{(2N_p) \times 6}$，可能有 $2N_p \neq 6$。根据系统特征点数量，矩阵方程 $L_{sys}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}
= -\lambda e(t)$ 可能是欠定、超定或恰好确定的。若 $L {sys}$ 的行数少于列数（$2N_p < 6$），系统为欠定；若行数多于列数（$2N_p > 6$），系统为超定；若行数和列数相等（$2N_p = 6$），系统为恰好确定。

即便系统不是恰好确定的，也可通过伪逆来获取控制输入表达式。伪逆定义为：
$L_{sys}^+ := (L_{sys}^T L_{sys})^{-1} L_{sys}^T$
将矩阵方程两边乘以 $L_{sys}^+$，可得控制输入向量的表达式：
$\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}
= -\lambda L {sys}^+ e(t)$

在探讨闭环系统及其稳定性之前，有几点需要注意：
- 伪逆 $L_{sys}^+$ 不是方阵，其维度为 $6 \times (2N_p)$。
- 伪逆表达式 $L_{sys}^+ = (L_{sys}^T L_{sys})^{-1} L_{sys}^T$ 要求矩阵 $(L_{sys}^T L_{sys})$ 可逆。不过，任意矩阵的伪逆总是存在的，其形式可用矩阵的奇异值分解表示。
- 伪逆是图像平面坐标和系统各特征点范围的非线性函数，即 $L_{sys}^+ = L_{sys}^+(u_1, v_1, Z_1, … , u_{N_p}, v_{N_p}, Z_{N_p})$，这意味着上述矩阵方程是非线性方程。
- 该组方程不是一组封闭的常微分方程。方程左边包含跟踪误差 $e$ 的导数，右边包含图像平面坐标和范围 $(u_1, v_1, Z_1, … , u_{N_p}, v_{N_p}, Z_{N_p})$。为将其转化为标准的常微分方程形式，需重写为：
$\dot{x}(t) = f(t, x(t))$
其中 $x$ 是一组状态变量。

2.3 闭环系统动态方程

以下定理推导了与反馈控制律相关的闭环系统动态的耦合非线性常微分方程组。

定理 ：若使用上述 IBVS 控制律控制机器人系统，闭环系统的动态由以下耦合非线性常微分方程组描述：
$\dot{e}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$
$\dot{u}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$
$\dot{X}(t) = -\lambda D_{sys} L_{sys}^+ e(t)$

证明 ：这些方程源于闭环控制律的推导。由 $\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}
= -\lambda L {sys}^+ e(t)$ 结合 $\dot{e}(t) = -\lambda e(t)$ 可得 $\dot{e}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$。又因为 $e(t) =
\begin{cases}
u_1(t) \
u_2(t) \
\vdots \
u_n(t)
\end{cases}
-
\begin{cases}
u_1^ \
u_2^ \
\vdots \
u_n^*
\end{cases}$，对其求导得 $\dot{e}(t) = \dot{u}(t)$，所以 $\dot{u}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$。再由 $\dot{X}(t) = D_{sys}
\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}$，代入控制输入表达式可得 $\dot{X}(t) = -\lambda D {sys} L_{sys}^+ e(t)$。

定义状态变量向量为 $x(t) :=
\begin{cases}
e(t) \
u(t) \
X(t)
\end{cases}$
则上述方程组的左边为 $\dot{x}(t)$，右边依赖于 $e(t), u(t), X(t)$，即 $x(t)$ 的元素，所以该系统是封闭的常微分方程组。

3. 初始条件计算

要使用数值算法求解上述非线性常微分方程组，需指定初始条件 $x(t_0) =
\begin{cases}
e(t_0) \
u(t_0) \
X(t_0)
\end{cases}$。以下是计算初始条件的步骤：
1. 找到最终相机框架原点与初始相机框架原点的偏移量 $d_{0,f}^0$ 的坐标，以及将最终相机框架坐标映射到初始相机框架坐标的旋转矩阵 $R_f^0$。创建齐次变换 $H_f^0$，将最终相机框架的齐次坐标映射到初始坐标框架的齐次坐标：
$H_f^0 =
\begin{bmatrix}
R_f^0 & d_{0,f}^0 \
\mathbf{0}^T & 1
\end{bmatrix}$
2. 对于每个点 $i = 1, … , n_p$，根据最终相机框架的相机坐标计算初始相机框架的相机坐标：
$\begin{cases}
X(t_0) \
Y(t_0) \
Z(t_0) \
1
\end{cases} i
=
\begin{bmatrix}
R_f^0 & d {f,0}^0 \
\mathbf{0}^T & 1
\end{bmatrix}
\begin{cases}
X(t_f) \
Y(t_f) \
Z(t_f) \
1
\end{cases} i$
也可简写为 $\begin{cases}
X_i(t_0) \
1
\end{cases}
=
\begin{bmatrix}
R_f^0 & d {f,0}^0 \
\mathbf{0}^T & 1
\end{bmatrix}
\begin{cases}
X_i(t_f) \
1
\end{cases}$
3. 使用初始相机框架的相机坐标 $(X_1(t_0), X_2(t_0), … , X_{n_p}(t_0))$ 计算初始焦平面坐标：
$u_i(t_0) =
\begin{cases}
u(t_0) \
v(t_0)
\end{cases} i
=
\begin{cases}
X_i(t_0) / Z_i(t_0) \
Y_i(t_0) / Z_i(t_0)
\end{cases}$
4. 使用初始焦平面坐标 $u_1(t_0), u_2(t_0), … , u {n_p}(t_0)$ 计算每个点的初始焦平面跟踪误差：
$e_i(t_0) =
\begin{cases}
e_x(t_0) \
e_y(t_0)
\end{cases}_i
=
\begin{cases}
u_i(t_0) - u_i^ \
v_i(t_0) - v_i^
\end{cases}$

完成这些步骤后，通过堆叠向量 $e_i(t_0), u_i(t_0), X_i(t_0)$ 构建初始条件 $x(t_0)$：
$e(t_0) =
\begin{cases}
e_1(t_0) \
e_2(t_0) \
\vdots \
e_{N_p}(t_0)
\end{cases}$
$u(t_0) =
\begin{cases}
u_1(t_0) \
u_2(t_0) \
\vdots \
u_{N_p}(t_0)
\end{cases}$
$X(t_0) =
\begin{cases}
X_1(t_0) \
X_2(t_0) \
\vdots \
X_{N_p}(t_0)
\end{cases}$
最终得到 $x(t_0) =
\begin{cases}
e(t_0) \
u(t_0) \
X(t_0)
\end{cases}$

4. 示例分析

以下通过几个示例进一步说明上述理论。

4.1 示例 1

推导一个基于相机对四个固定在惯性框架的特征点测量的 IBVS 控制器。相机框架、焦平面和特征点的相机坐标如图所示，焦距 $f = 1$。

期望焦平面坐标为：
$\begin{cases}
u_1^ \
v_1^
\end{cases}
=
\begin{cases}
\frac{1}{2} \
\frac{1}{2}
\end{cases}$
$\begin{cases}
u_2^ \
v_2^
\end{cases}
=
\begin{cases}
\frac{1}{2} \
-\frac{1}{2}
\end{cases}$
$\begin{cases}
u_3^ \
v_3^
\end{cases}
=
\begin{cases}
-\frac{1}{2} \
-\frac{1}{2}
\end{cases}$
$\begin{cases}
u_4^ \
v_4^
\end{cases}
=
\begin{cases}
-\frac{1}{2} \
\frac{1}{2}
\end{cases}$

特征点相对于最终相机框架的坐标为：
$\begin{cases}
X(t_f) \
Y(t_f) \
Z(t_f)
\end{cases}_1
=
\begin{cases}
4 \
4 \
8
\end{cases}$
$\begin{cases}
X(t_f) \
Y(t_f) \
Z(t_f)
\end{cases}_2
=
\begin{cases}
4 \
-4 \
8
\end{cases}$
$\begin{cases}
X(t_f) \
Y(t_f) \
Z(t_f)
\end{cases}_3
=
\begin{cases}
-4 \
-4 \
8
\end{cases}$
$\begin{cases}
X(t_f) \
Y(t_f) \
Z(t_f)
\end{cases}_4
=
\begin{cases}
-4 \
4 \
8
\end{cases}$

初始条件选择为：
- 初始相机框架原点与最终相机框架原点重合。
- 初始相机框架通过将最终相机框架绕 $z_{\mathbb{C}}(t_f) = z_{\mathbb{C}}(t_0)$ 轴旋转 $\frac{\pi}{4}$ 得到。

使用上述步骤计算初始条件，模拟结果显示，视觉伺服图像控制律驱动相机使特征点的焦平面坐标趋近于期望位置，相机在 $z_{\mathbb{C}}$ 方向有运动，即使目标相机配置与初始相机配置仅通过绕 $z_{\mathbb{C}}$ 轴的简单旋转相关。

4.2 示例 2

与示例 1 类似，使用相机对四个固定在惯性框架的特征点的测量推导 IBVS 控制器。特征点相对于最终相机框架的几何关系相同，但初始相机框架的定义如下：
- 初始相机框架原点相对于最终相机框架原点的偏移量为：
$d_{f,0}^f =
\begin{cases}
0 \
\frac{1}{\sqrt{2}}D \
D - \frac{1}{\sqrt{2}}D
\end{cases}$
- 初始相机框架通过将最终相机框架绕 $x_c(t_f)$ 轴旋转 $\frac{\pi}{4}$ 得到，旋转矩阵为：
$R_f^0 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}$

更新旋转矩阵和原点偏移量后计算初始条件 $x(t_0)$。数值模拟结果表明，控制器能驱动特征点在焦平面的轨迹到达期望位置，相机坐标也收敛到期望位置。

4.3 示例 3

考虑与示例 1 相同的设置，即初始相机框架原点与最终相机框架原点重合，初始相机框架通过绕 $z_{\mathbb{C}}$ 轴旋转得到，但旋转角度分别为 $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}, \frac{99\pi}{100}$。

模拟结果显示，焦平面轨迹符合预期，从初始相机配置下特征点图像的红色多边形角落开始，到最终相机配置下的蓝色多边形角落结束。然而，相机坐标在 $z_{\mathbb{C}}$ 方向的运动范围随旋转角度趋近于 $\pi$ 而急剧增加。例如，当旋转角度为 $\frac{99\pi}{100}$ 时，相机与特征点的最大距离达到 600 单位，控制效果不佳。

这种异常行为的原因可从系统交互矩阵 $L_{sys}$ 的最小奇异值分析得出。最小奇异值随旋转角度变化的情况如下表所示：

旋转角度	最大范围	最小奇异值
$\frac{\pi}{4}$	8.8	$O(10^{-3})$
$\frac{\pi}{2}$	11.5	$O(10^{-4})$
$\frac{3\pi}{4}$	22	$O(10^{-6})$
$\frac{7\pi}{8}$	45	$O(10^{-9})$
$\frac{99\pi}{100}$	600	$O(10^{-15})$

可以看出，最小奇异值越小，相机在 $z_{\mathbb{C}}$ 方向的运动范围越大，控制效果越差。

总结

通过构建矩阵 $L_{sys}$ 和 $D_{sys}$，我们可以解决 IBVS 控制问题。推导了控制律和闭环系统的动态方程，并给出了计算初始条件的步骤。通过示例分析，我们发现系统交互矩阵的最小奇异值对控制效果有重要影响，在实际应用中需要注意避免最小奇异值过小的情况。

以下是计算初始条件的流程图：

graph TD;
    A[确定偏移量和旋转矩阵] --> B[计算初始相机坐标];
    B --> C[计算初始焦平面坐标];
    C --> D[计算初始焦平面跟踪误差];
    D --> E[构建初始条件向量];

通过以上内容，我们对基于图像的视觉伺服控制有了更深入的理解，包括理论推导、初始条件计算和实际应用中的问题分析。在实际应用中，需要根据具体情况合理选择参数，以确保控制效果的稳定性和准确性。

基于图像的视觉伺服控制详解

5. 关键技术点分析

在基于图像的视觉伺服控制中，有几个关键技术点需要深入分析，它们对整个控制过程的稳定性和有效性起着至关重要的作用。

5.1 系统交互矩阵 $L_{sys}$

系统交互矩阵 $L_{sys}$ 是连接图像特征变化和相机运动的桥梁。它的维度为 $(2N_p)×6$，其中 $2N_p$ 表示图像特征点的数量乘以 2（因为每个特征点有 $u$ 和 $v$ 两个坐标），6 表示相机的 6 个自由度（3 个平移和 3 个旋转）。$L_{sys}$ 的具体形式为：
$L_{sys} =
\begin{bmatrix}
L(u_1, v_1, Z_1) \
L(u_2, v_2, Z_2) \
\vdots \
L(u_{N_p}, v_{N_p}, Z_{N_p})
\end{bmatrix}$
其中 $L(u_i, v_i, Z_i)$ 是与第 $i$ 个特征点相关的交互矩阵。$L_{sys}$ 的性质直接影响到控制输入的求解。当 $L_{sys}$ 的行数和列数不相等时，矩阵方程可能是欠定或超定的，需要使用伪逆来求解控制输入。

5.2 伪逆 $L_{sys}^+$

伪逆 $L_{sys}^+$ 是解决非方阵矩阵方程求解问题的关键工具。它的定义为 $L_{sys}^+ := (L_{sys}^T L_{sys})^{-1} L_{sys}^T$，但要求 $(L_{sys}^T L_{sys})$ 可逆。实际上，任意矩阵的伪逆总是存在的，可以通过奇异值分解来表示。伪逆的重要性在于，即使系统交互矩阵不是方阵，也能得到控制输入的表达式：
$\begin{cases}
v_{\mathbb{C} {0,c}} \
\omega {\mathbb{C} {0,\mathbb{C}}}
\end{cases}
= -\lambda L {sys}^+ e(t)$
然而，伪逆是图像平面坐标和系统各特征点范围的非线性函数，这使得控制方程成为非线性方程，增加了求解的复杂性。

5.3 闭环系统稳定性

闭环系统的稳定性是控制问题的核心。通过定义控制律 $\dot{e}(t) = -\lambda e(t)$，可以使跟踪误差以指数速率趋近于零。但在实际应用中，由于系统交互矩阵和伪逆的非线性特性，闭环系统的稳定性需要更深入的分析。定理 7.2 给出了闭环系统的动态方程：
$\dot{e}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$
$\dot{u}(t) = -\lambda L_{sys} L_{sys}^+ e(t)$
$\dot{X}(t) = -\lambda D_{sys} L_{sys}^+ e(t)$
要确保闭环系统稳定，需要保证这些方程的解是有界的，并且跟踪误差最终趋近于零。

6. 实际应用中的注意事项

在实际应用基于图像的视觉伺服控制时，有一些注意事项需要考虑，以确保控制效果的稳定性和准确性。

6.1 特征点选择

特征点的选择对控制效果有重要影响。特征点应该具有明显的特征，易于在图像中识别和跟踪。同时，特征点的分布应该合理，避免出现特征点过于集中或分布不均匀的情况。在选择特征点时，可以考虑以下几点：
- 特征点的数量：特征点的数量 $N_p$ 会影响系统交互矩阵的维度和性质。一般来说，增加特征点的数量可以提高控制的精度，但也会增加计算复杂度。
- 特征点的分布：特征点应该均匀分布在图像平面上，以充分反映相机的运动信息。
- 特征点的稳定性：特征点应该在整个控制过程中保持稳定，避免出现特征点丢失或误匹配的情况。

6.2 最小奇异值问题

从示例分析中可以看出，系统交互矩阵的最小奇异值对控制效果有重要影响。最小奇异值越小，相机在 $z_{\mathbb{C}}$ 方向的运动范围越大，控制效果越差。在实际应用中，需要避免最小奇异值过小的情况，可以采取以下措施：
- 调整特征点的分布：合理调整特征点的分布可以提高系统交互矩阵的条件数，从而避免最小奇异值过小。
- 增加特征点的数量：增加特征点的数量可以提高系统交互矩阵的秩，从而改善矩阵的性质。
- 实时监测最小奇异值：在控制过程中，实时监测系统交互矩阵的最小奇异值，当最小奇异值过小时，及时调整控制策略。

6.3 初始条件的准确性

初始条件的准确性对控制效果的影响也很大。在计算初始条件时，需要确保偏移量、旋转矩阵和特征点坐标的测量准确。如果初始条件不准确，可能会导致控制误差增大，甚至使闭环系统不稳定。

7. 未来发展趋势

基于图像的视觉伺服控制是一个活跃的研究领域，未来有以下几个发展趋势：

7.1 多传感器融合

将视觉传感器与其他传感器（如激光雷达、惯性测量单元等）融合，可以提高系统的感知能力和控制精度。多传感器融合可以充分利用不同传感器的优势，弥补单一传感器的不足。

7.2 深度学习应用

深度学习在图像识别和处理领域取得了巨大的成功。将深度学习技术应用于基于图像的视觉伺服控制中，可以提高特征点的识别和跟踪精度，从而改善控制效果。

7.3 实时性优化

随着机器人应用场景的不断扩展，对控制的实时性要求越来越高。未来的研究将致力于优化算法的计算效率，提高控制的实时性。

8. 总结与展望

基于图像的视觉伺服控制是一种有效的机器人控制方法，通过构建矩阵 $L_{sys}$ 和 $D_{sys}$，可以解决 IBVS 控制问题。推导了控制律和闭环系统的动态方程，并给出了计算初始条件的步骤。通过示例分析，我们发现系统交互矩阵的最小奇异值对控制效果有重要影响，在实际应用中需要注意避免最小奇异值过小的情况。

未来，基于图像的视觉伺服控制将在多传感器融合、深度学习应用和实时性优化等方面取得更大的进展。同时，随着机器人技术的不断发展，基于图像的视觉伺服控制将在更多的领域得到应用，为机器人的智能化和自主化提供有力支持。

以下是关键技术点的总结表格：
| 技术点 | 描述 | 影响 |
| ---- | ---- | ---- |
| 系统交互矩阵 $L_{sys}$ | 连接图像特征变化和相机运动的矩阵，维度为 $(2N_p)×6$ | 影响控制输入求解，可能导致欠定或超定问题 |
| 伪逆 $L_{sys}^+$ | 解决非方阵矩阵方程求解问题的工具，是非线性函数 | 增加控制方程的非线性复杂度 |
| 闭环系统稳定性 | 控制问题的核心，通过控制律使跟踪误差趋近于零 | 需要深入分析非线性系统的稳定性 |

以下是实际应用注意事项的流程图：

graph TD;
    A[特征点选择] --> B[避免最小奇异值过小];
    B --> C[确保初始条件准确];
    C --> D[实现稳定控制];

通过以上内容，我们对基于图像的视觉伺服控制有了全面的了解，包括理论基础、实际应用中的注意事项和未来发展趋势。在实际应用中，需要综合考虑各种因素，合理选择参数和控制策略，以确保控制效果的稳定性和准确性。