牛顿-科特斯(Newton-Cotes)数值积分学习笔记

最新推荐文章于 2024-11-15 15:40:28 发布

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#算法 #线性代数 #抽象代数

本文深入探讨了数值积分的概念，特别是牛顿-科特斯公式在解决连续函数积分问题中的应用。通过拉格朗日插值法，将积分转化为离散多项式，并介绍了如何求解科斯特系数，从而得到梯形公式、辛普森公式等数值积分方法。文章还展示了MATLAB实现的数值积分示例，如二次函数的积分计算。

牛顿-科特斯(Newton-Cotes)数值积分学习笔记

微积分是我们数学领域一个强大的工具，科学研究领域乃至生活中的方方面面都渗透着微积分的思想。
学过高等数学的我们都知道，对于 ${\color{Blue} I=\int_{a}^{b}f(x)}$ 这样一个定积分，运用牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula) $\int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a)$ 可以很方便快捷地求解一些较为简单的连续性问题。但现实中，大多数问题都是离散地、非连续地，我们没法通过代数手段找到被积函数所对应的原函数。因此， $\color{Blue}{数值积分}$ 成了我们求解积分问题的一个有力手段。
积分中值定理大家想必很熟悉了：若函数 $\color{Blue}{f(x)}$ 在闭区间 $\color{Blue}{[a,b]}$ 上连续，则在积分区间上至少存在一个点 $\color{Blue}{\xi}$ ，使下式成立
${\color{Blue} \int_{a}^{b}f(x)=(b-a)f(\xi )}$
在这里插入图片描述
这个定理的几何意义便是： $\color{#00F}{存在一个矩形，其面积与连续曲线与坐标轴所围成的封闭图形的面积相等}$ 。
也就是说，当我们能找到这一点 $\color{Blue}{\xi}$ 时及其对应的 $\color{Blue}{f(\xi)}$ 时，被积函数在一段区间上的积分值就转化成了某一点的函数值与一个定值常数的乘积。这样一来，原来的积分仿佛被一种数值形式所取代，数值积分便由此有了雏形。这便是所谓的离散化思想。 相应地，可以简单定义这种普遍存在的数值形式： $\color{#00F}{\int_{a}^{b}f(x)=A_{i}f(x_{i})}$
这里， $\color{Blue}{f(x_i)}$ 表示某点函数值, $\color{Blue}{A_i}$ 代表该函数值对应权重。

然而， $\color{Blue}{\xi}$ 是多少， $\color{Blue}{f(\xi)}$ 又是多少，我们现在凭借以上并不能确定，于是牛顿-科特斯(Newton-Cotes)公式将逐步求解出我们的这些疑惑。
首先思考的问题便是怎么求解出这些所谓的权重，观察上述式子，注意到左边为积分项，右边为数值项，考虑是否也能将左半部分的积分项也化成数值项的形式，我们将用到拉格朗日插值（Lagrange Interpolation Polynomial）。

拉格朗日插值

对于某个未知的函数，已知该函数上一系列未知的散点 ${\color{Blue} \left ( x_{0},y_{0}\right ),\left ( x_{1},x_{1}\right ),\cdots ,\left ( x_{n},y_{n}\right )}$
定义基函数： ${\color{Blue} l_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})\cdots(x-x_{i-1}) (x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_i-x_{0})\cdots(x_i-x_{i-1}) (x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_{n})}}$