26、多面体模型的最优精确闵可夫斯基和近似计算

多面体模型的最优精确闵可夫斯基和近似计算

1. 引言

闵可夫斯基和作为计算几何中的一个重要问题，受到了广泛关注。设 $P$ 和 $Q$ 是 $R^d$ 中的两个封闭多面体，它们的闵可夫斯基和 $M = P⊕Q = {p + q | p∈P, q∈Q}$，其中 $p + q$ 是对应于 $P$ 和 $Q$ 中各点的位置向量 $p$ 和 $q$ 的和。闵可夫斯基和的计算问题在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、CAD/CAM、动态仿真、偏移操作以及机器人运动规划中的无碰撞路径计算等。

我们的目标是计算两个多面体模型的闵可夫斯基和的边界。两个分别具有 $m$ 和 $n$ 个特征的凸多面体 $P$ 和 $Q$ 的闵可夫斯基和的组合复杂度可能达到 $O (mn)$，目前已有许多准确且简单的算法来计算。然而，非凸多面体的闵可夫斯基和的计算复杂度高达 $O (m^3n^3)$，甚至更糟。因此，对于复杂多面体模型的精确闵可夫斯基和的鲁棒计算，目前还没有实用的算法。

2. 闵可夫斯基和计算

2.1 概述

在 $R^n$ 中，计算两个多面体的闵可夫斯基和是一个重要的几何操作，它可以定义为两个操作数中各点的成对和的集合，也可以描述为一个操作数沿着另一个操作数的轮廓按指定方向移动。一般来说，两个凸多面体的闵可夫斯基和的复杂度为 $O (mn)$（在 $R^3$ 中，$m$ 和 $n$ 分别是面的数量），而非凸多面体的复杂度为 $O (m^3n^3)$。因此，计算凸多面体的闵可夫斯基和比一般多面体模型更容易。

利用闵可夫斯基和的性质：$S_1⊕S_2 = S_2⊕S_1$；$S_1⊕ (S_2 ∪S_3) = (S_1⊕S_2) ∪(