24、支持向量机分类器：原理、技巧与应用

支持向量机分类器：原理、技巧与应用

在机器学习的世界里，分类问题是一个核心议题。支持向量机（Support Vector Machine，SVM）作为一种强大的分类工具，在处理各类分类任务中表现出色。本文将深入探讨支持向量机的原理、核技巧以及实际应用。

1. 支持向量机问题的基本形式

为了处理一些点可能位于决策边界错误一侧的情况，我们引入了松弛变量 $\xi_j \geq 0$，并将约束条件替换为 $Y_j(\langle b, X_j\rangle + b_0) \geq C(1 - \xi_j)$。当 $\xi_j > 1$ 时，$X_j$ 位于边界的错误一侧，对应的对象被错误分类；当 $0 < \xi_j < 1$ 时，$X_j$ 位于边界的正确一侧，但在边界周围宽度为 $2C$ 的带内。

通过强制 $\sum_{j=1}^{N} \xi_j \leq K_s$（其中 $K_s$ 为常数），可以限制重叠的程度。对于整数 $K_s$，训练集中最多可能有 $K_s$ 个错误分类。

我们重新表述优化问题，去掉 $||b|| = 1$ 的条件，设 $C = ||b||^{-1}$，并相应地重新定义 $b_0$ 和 $\xi_j$。则带有额外松弛变量的等价形式为：
[
\begin{align }
\frac{1}{2}||b||^2 &= \min_{b}\
\text{约束条件：} Y_j(\langle b, X_j\rangle + b_0) &\geq 1 - \xi_j, j = 1, \ldots, N\
\text{对于某些 } \xi_j &\g