42、标签约束外平面图的直线网格绘制及识别

标签约束外平面图绘制与识别

最新推荐文章于 2025-10-26 16:58:54 发布

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标签约束外平面图的直线网格绘制及识别

在图论和图绘制领域，标签约束外平面图的研究有着重要的意义。本文将深入探讨标签约束外平面图的相关概念、绘制算法以及识别方法。

基本定义

图的基本概念 ：设 (G = (V, E)) 是一个连通简单图，其中 (V) 是顶点集，(E) 是边集。用 (n = |V|) 表示顶点数，(m = |E|) 表示边数。(G - {u, v}) 表示一个新图 (G’ = (V’, E’))，其中 (V’ = V(G) - {u, v})，(E’) 是由 (V’) 在 (G) 中诱导的边集。图中的路径是一个不同顶点的有序列表 (v_1, v_2, …, v_q \in V)，满足 ((v_{i - 1}, v_i) \in E) 对于所有 (2 \leq i \leq q)。
平面图和外平面图 ：如果一个图可以嵌入平面，使得除了在它们共同关联的顶点处外，没有两条边几何相交，则该图是平面图。平面嵌入固定的平面图称为平面图形。平面图形将平面划分为连通区域，称为面，有界区域是内面，无界区域是外面。如果一个平面图形的所有顶点都位于外面上，则它是外平面图。
最大外平面图和对偶树 ：最大外平面图是不能在不失去外平面性的情况下添加边的外平面图。其每个内面都有三条边，因此最大外平面图 (G) 的对偶树 (T) 是一棵二叉树，其中 (T) 的顶点对应 (G) 的内面，当 (G) 中对应 (T) 的两个顶点 (x) 和 (y) 的面共享一条边时，(x) 和 (y) 相邻。
二叉树的顶点标记 ：设 (T) 是一棵二叉树，(r) 是根。顶点 (u) 相对于 (r) 的标记 (L_r(u)) 定义如下：
- 若 (u) 是叶节点，则 (L_r(u) = 1)；
- 若 (u) 只有一个子节点 (q) 且 (L_r(q) = k)，则 (L_r(u) = k)；
- 若 (u) 有两个子节点 (s) 和 (t)，且 (L_r(s) = k)，(L_r(t) = k’) 且 (k > k’)，则 (L_r(u) = k)；
- 若 (u) 有两个子节点 (s) 和 (t)，且 (L_r(s) = k)，(L_r(t) = k)，则 (L_r(u) = k + 1)。

标记规则	条件	标记结果
规则 1	(u) 是叶节点	(L_r(u) = 1)
规则 2	(u) 只有一个子节点 (q) 且 (L_r(q) = k)	(L_r(u) = k)
规则 3	(u) 有两个子节点 (s) 和 (t)，(L_r(s) = k)，(L_r(t) = k’) 且 (k > k’)	(L_r(u) = k)
规则 4	(u) 有两个子节点 (s) 和 (t)，(L_r(s) = k)，(L_r(t) = k)	(L_r(u) = k + 1)

二叉树相关路径和标记性质

路径定义 ：在有根有序二叉树 (T) 中，有多种路径类型，如左 - 左路径（(u) 是路径所有顶点的祖先，除 (u) 外每个顶点是其父节点的左子节点）、右 - 右路径、交叉路径（既不是左 - 左路径也不是右 - 右路径）、最左路径（最大左 - 左路径且一端点是根）、最右路径、左 - 右路径（从顶点 (x) 开始，(v_1) 是 (x) 的左子节点，(v_{i + 1}) 是 (v_i) 的右子节点）和右 - 左路径。
扁平标记 ：如果 (T) 中由相同标记的顶点诱导的任何路径要么是左 - 左路径要么是右 - 右路径，则 (L_r(T)) 是扁平标记。对于扁平标记的二叉树，任何顶点 (x) 的左 - 右（右 - 左）路径中除 (x) 的左（右）子节点外的每个顶点的标记都小于 (x) 的标记。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(定义有根有序二叉树 T 和根 r):::process
    B --> C(判断 Lr(T) 是否为扁平标记):::process
    C -->|是| D(对于任意顶点 x):::process
    D --> E(分析 x 的左 - 右路径):::process
    E --> F(除左子节点外顶点标记小于 x 标记):::process
    C -->|否| G(不符合扁平标记性质):::process
    F --> H([结束]):::startend
    G --> H

标签约束外平面图的定义

设 (G) 是最大外平面图，(T) 是其对偶树。若 (T) 可以转换为有根有序二叉对偶树 (T_r)，使得 (L_r(T_r)) 是扁平标记，则 (G) 是标签约束外平面图。

绘制算法

算法思路 ：对于标签约束外平面图 (G)，首先绘制其有根有序二叉对偶树 (T_r)。将 (T_r) 顶点的 (x) 坐标按中序遍历顺序从 1 开始递增分配，(y) 坐标是顶点标记减 1。然后放置对应根 (r) 的面 (f_r) 的极点，添加 (G) 中不在 (T_r) 中的边。
算法步骤 ：
1. 绘制 (T_r)：根据坐标分配规则放置 (T_r) 的顶点并添加边。
2. 放置极点：将面 (f_r) 的左顶点和右顶点分别放置在 ((0, k)) 和 ((n - 1, k)) 处，其中 (L_r(T_r) = k)。
3. 添加剩余边：使用直线段添加 (G) 中不在 (T_r) 中的边。
算法定理 ：算法 Draw - Graph 能在线性时间内找到标签约束外平面图 (G) 的直线网格绘制，面积为 (O(n \log n))。

绘制算法的正确性证明

直线网格绘制证明 ：根据 (T_r) 顶点坐标分配规则，有以下引理：
- 引理 6：设 (G) 是标签约束外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (u) 是 (T_r) 的顶点，(s) 和 (t) 分别是 (u) 的左子节点和右子节点，则以 (s) 为根的子树中任何顶点的 (x) 坐标小于以 (t) 为根的子树中任何顶点的 (x) 坐标。
- 引理 7：设 (G) 是标签约束外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (u) 和 (v) 是 (T_r) 的顶点且 (u) 是 (v) 的祖先，则 (u) 的 (y) 坐标大于或等于 (v) 的 (y) 坐标。
- 引理 8：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (q) 是 (T_r) 的顶点，(x) 和 (y) 分别是 (q) 的左子节点和右子节点，(f_q)，(f_x) 和 (f_y) 是 (G) 中对应 (q)，(x) 和 (y) 的面，则 (f_q) 的左顶点是 (f_x) 的左顶点，(f_q) 的右顶点是 (f_y) 的右顶点。
无交叉绘制证明 ：
- 根对应面的两个极点之间的边可无交叉绘制，因为极点位于 (T_r) 所有顶点上方。
- 根对应面的左顶点与 (T_r) 最左路径上的顶点相邻，这些边可无交叉绘制，因为左顶点位于最左路径所有顶点的左上方。同理，右顶点与最右路径上的顶点的边也可无交叉绘制。
- 最大外平面图中其余边是 (T_r) 中顶点与左 - 右或右 - 左路径上顶点之间的边，根据坐标和标记性质，这些边也可无交叉绘制。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(绘制有根有序二叉对偶树 Tr):::process
    B --> C(放置对应根 r 的面 fr 的极点):::process
    C --> D(添加 G 中不在 Tr 中的边):::process
    D --> E(判断是否有边交叉):::process
    E -->|否| F(完成直线网格绘制):::process
    E -->|是| G(调整绘制):::process
    G --> D
    F --> H([结束]):::startend

标签约束外平面图的直线网格绘制及识别

标签约束外平面图的识别算法

朴素方法的局限性 ：对于最大外平面图 (G) 和其有根有序二叉对偶树 (T_r)，通过自底向上计算可以在线性时间内得到 (L_r(T_r))，验证 (L_r(T_r)) 是否为扁平标记也能在线性时间内完成。但如果 (L_r(T_r)) 不是扁平标记，需要计算 (G) 的对偶树 (T) 中每个度为 1 或 2 的顶点作为根时的顶点标记并验证是否为扁平标记，这种朴素方法的时间复杂度为 (O(n^2))。
观察与引理 ：在转换根时，只有 (T_r) 中 (r - p) 路径上的顶点的子节点顺序会改变，其余顶点的子节点顺序不变。有以下相关引理：
- 引理 10：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (s) 是 (r) 在 (T_r) 中的右（左）子节点，(p) 是 (T) 中除 (r) 外度为 1 或 2 的顶点，且 (s) 在 (T_p) 中仍是 (r) 的子节点，则 (s) 是 (r) 在 (T_p) 中的左（右）子节点。
- 引理 11：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (s) 是 (T_r) 中除 (r) 外度为 1 或 2 的顶点，(t) 是 (s) 在 (T_r) 中的右（左）子节点，则 (t) 是 (s) 在 (T_s) 中的左（右）子节点。
- 引理 12：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若 (x) 是度为 3 的顶点，(s) 是 (x) 的父节点，(p) 和 (q) 是 (x) 在 (T_r) 中的左、右子节点，(y) 是 (x) 在 (T_r) 中左（右）子树的度为 1 或 2 的后代，则在 (T_y) 中 (s)（(p)）是 (x) 的右子节点，(q)（(s)）是 (x) 的左子节点。
计算标记的引理 ：
- 引理 13：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若已知 (L_r(T_r))，则对于 (T_r) 中 (r) 的度为 1 或 2 的子节点 (p)，可以在常数时间内计算 (L_p(T_p))。
- 引理 14：设 (G) 是最大外平面图，(T_r) 是其有根有序二叉对偶树。若已知 (L_r(T_r))，对于 (r) 的子节点 (p) 及其度为 1 或 2 的后代 (x)，可以在常数时间内计算 (L_x(p))。

引理编号	引理内容
引理 10	(T_r) 中 (r) 的右（左）子节点 (s)，在 (T_p) 中变为左（右）子节点（特定条件下）
引理 11	(T_r) 中 (s) 的右（左）子节点 (t)，在 (T_s) 中变为左（右）子节点
引理 12	(T_r) 中 (x) 的子节点关系在 (T_y) 中改变（特定条件下）
引理 13	已知 (L_r(T_r))，可在常数时间计算 (L_p(T_p))（(p) 是 (r) 度为 1 或 2 的子节点）
引理 14	已知 (L_r(T_r))，可在常数时间计算 (L_x(p))（(x) 是 (p) 度为 1 或 2 的后代）

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(已知有根有序二叉对偶树 Tr 和 Lr(Tr)):::process
    B --> C(选择 r 的度为 1 或 2 的子节点 p):::process
    C --> D(根据引理 13 计算 Lp(Tp)):::process
    D --> E(选择 p 的度为 1 或 2 的后代 x):::process
    E --> F(根据引理 14 计算 Lx(p)):::process
    F --> G([结束]):::startend

具体识别算法步骤 ：
1. 计算 (L_r(T_r))。若 (L_r(T_r)) 是扁平标记，则 (G) 是标签约束外平面图。
2. 若 (L_r(T_r)) 不是扁平标记，检查是否存在顶点 (x \in T_r) 使得其两个子树都包含交叉路径。若存在，则 (G) 不是标签约束外平面图。
3. 假设 (L_r(T_r)) 不是扁平标记且不存在上述顶点 (x)，此时 (T_r) 中检测到交叉路径的顶点都在一条路径上，且 (r) 是该路径的一个端点。设 (u) 是该路径的另一个端点，即离 (r) 最远且检测到交叉路径的顶点。
4. 考虑 (u) 的情况：
  - 若 (u) 不是 (T_r) 的根：
    - 若 (u) 的度为 2：根据引理 13 和 14，在 (O(l)) 时间内计算 (L_u(T_u))，其中 (l) 是 (r - u) 路径的长度。若在计算过程中，在 (T_r) 中 (u) 的任何祖先 (x) 处检测到交叉路径，则对于 (T_r) 中 (x) 的任何后代 (y)，(L_y(T_y)) 都不可能是扁平标记，所以 (G) 不是标签约束外平面图。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(计算 Lr(Tr)):::process
    B --> C(判断 Lr(Tr) 是否为扁平标记):::process
    C -->|是| D(G 是标签约束外平面图):::process
    C -->|否| E(检查是否存在 x 使两子树含交叉路径):::process
    E -->|是| F(G 不是标签约束外平面图):::process
    E -->|否| G(确定 u 为交叉路径另一端点):::process
    G --> H(判断 u 是否为根):::process
    H -->|是| I(进一步分析):::process
    H -->|否| J(判断 u 度是否为 2):::process
    J -->|是| K(计算 Lu(Tu)):::process
    K --> L(判断是否有祖先 x 检测到交叉路径):::process
    L -->|是| F
    L -->|否| M(继续检查其他情况):::process
    D --> N([结束]):::startend
    F --> N
    M --> N
    I --> N

综上所述，我们详细介绍了标签约束外平面图的定义、绘制算法以及高效的识别算法。绘制算法能够在线性时间内得到面积为 (O(n \log n)) 的直线网格绘制，识别算法通过巧妙的观察和引理，避免了朴素方法的高时间复杂度，为实际应用中处理标签约束外平面图提供了有效的解决方案。