41、平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度与标签约束外平面图的直线网格绘制

平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度与标签约束外平面图的直线网格绘制

在计算机科学和计算几何领域，平面矩形和正方形穿刺问题以及图的绘制问题一直是研究的热点。下面将详细介绍平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度，以及标签约束外平面图的直线网格绘制相关内容。

平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度

• 问题定义与矩阵构造
  • 对于2 - SC1P - 集合覆盖问题，矩阵 (M) 的行类型有多种。类型1和2的行以及 (k’) 的值决定了每个解在每个边颜色下，从 (D_1)、(D_2) 和 (D_4) 中各选一列，在每个顶点颜色下从 (D_3) 中选一列。
  • 类型3行 ：对于每个边颜色 ({a, b})，(M) 包含 (2 \cdot (|E_{{a,b}}| - 1)) 行 (r^3_{{a,b},D_1,i}) 和 (2 \cdot (|E_{{a,b}}| - 1)) 行 (r^3_{{a,b},D_2,i})。当 (x \in {1, 2}) 且 (i \in {1, \ldots, |E_{{a,b}}| - 1}) 时，行 (r^3_{{a,b},D_x,i}) 在 (d(e_j) = {a, b}) 且 (j < first({a, b}) + i) 的列 (c^x_j \in C_x) 以及 (d(e_j) = {a, b}) 且 (j \geq first({a, b}) + i) 的列 (c^4_j \in C_4) 中有1，其他列全为0；当 (i \in {|E_{{a,b}}|, \ldots, 2 \cdot (|E_{{a,b}}| - 1)}) 时，行 (r^3_{{a,b},D_x,i}) 在 (d(e_j) = {a, b}) 且 (j \geq first({a, b}) + i - (|E_{{a,b}}| - 1)) 的列 (c^x_j \in C_x) 以及 (d(e_j) = {a, b}) 且 (j < first({a, b}) + i - (|E_{{a,b}}| - 1)) 的列 (c^4_j \in C_4) 中有1，其他列全为0。
  • 类型4行 ：对于每条边 (e_p = {v_{q1}, v_{q2}} \in E)，矩阵 (M) 包含两行 (r^4_{e_p,v_{q1}}) 和 (r^4_{e_p,v_{q2}})。对于 (i = 1, 2)，行 (r^4_{e_p,v_{qi}}) 在 (d(e_j) = d(e_p)) 且 (j > p) 的列 (c^1_j \in C_1)、(d(e_j) = d(e_p)) 且 (j < p) 的列 (c^2_j \in C_2) 以及列 (c^3_{qi} \in C_3) 中有1，其他列全为0。
• 复杂度定理
  • 定理1 ：2 - SC1P - 集合覆盖、2 - C1P - 集合覆盖和矩形穿刺问题关于参数 (k) 是W[1] - 困难的。
  • 定理2 ：当所有矩形 (R) 都是具有相同宽度和高度的正方形时，矩形穿刺问题的这个受限变体关于参数 (k) 也是W[1] - 困难的。
• 矩形穿刺问题在W[1]中的成员资格
  • 可以通过类似于Marx对轴平行矩形相交图上的支配集问题的证明方法，将矩形穿刺问题（更一般地，2 - C1P - 集合覆盖问题）归约到W[1] - 完全问题——短图灵机接受问题。
  • 短图灵机接受问题
    • 输入 ：非确定性图灵机 (N) 的描述和正整数 (k’)。
    • 问题 ：图灵机 (N) 是否能在空输入字符串上于 (k’) 步内停止？
  • 通过构造一个非确定性图灵机 (N)，使得对于给定的2 - C1P - 集合覆盖实例 ((M, k))，(N) 能在空输入字符串上于 (k’ = f(k)) 步内停止当且仅当 ((M, k)) 是一个肯定实例。
  • 定理3 ：对于参数 (k)，2 - C1P - 集合覆盖、2 - SC1P - 集合覆盖和矩形穿刺问题都属于W[1]。
• 不重叠等大小正方形的穿刺问题
  • 问题定义 ：考虑矩形穿刺问题的一种自然限制，即 (R) 中没有两个矩形重叠，且所有矩形都是相同大小的正方形，记为不相交 (b) - 正方形穿刺问题。
  • 基本观察
    • 对于 (b \geq 2)，不相交 (b) - 正方形穿刺问题是NP - 完全的，可以通过归约自NP - 完全的顶点覆盖问题来证明。
    • 对于 (b = 1)，不相交 (1) - 正方形穿刺问题可以在多项式时间内解决。因为每个不相交 (1) - 正方形穿刺问题实例都等价于一个2 - SC1P - 集合覆盖实例 ((M, k))，其中 (M) 的列集可以划分为两个连续列集 (C_1) 和 (C_2)，使得 (M) 的每一行在 (C_1) 的一列和 (C_2) 的一列中恰好有一个1，这样的矩阵可以解释为一个二分图，对应于二分图上的顶点覆盖问题，而二分图上的顶点覆盖问题是多项式时间可解的。
  • 固定参数可处理性
    • 不相交 (b) - 正方形穿刺问题关于参数 (k) 是固定参数可处理的，采用搜索树算法。该算法在每个递归步骤中分支为有限个情况，首先确定给定直线的一个子集，使得矩形穿刺问题的每个大小为 (k) 的解必须包含这些直线中的至少一条，然后递归测试哪条直线能得到所需的解。
    • 数据约简规则
      • 规则1 ：如果有两条直线 (l_1, l_2 \in L)，使得 (R) 中被 (l_2) 相交的每个矩形也被 (l_1) 相交，则删除 (l_2)。
      • 规则2 ：如果有两个矩形 (r_1, r_2 \in R)，使得 (L) 中与 (r_1) 相交的每条直线也与 (r_2) 相交，则删除 (r_2)。
      • 规则3 ：如果有 (k + 2) 个矩形 (r_1, \ldots, r_{k + 2} \in R)，使得没有水平直线与这些矩形中的多个相交，并且对于每个 (i \in {1, \ldots, k + 1}) 有 (lx(r_i) \geq lx(r_{k + 2})) 且 (rx(r_i) \leq rx(r_{k + 2}))，则删除 (r_{k + 2})。
    • 相关观察和引理
      • 观察2 ：在矩形穿刺问题的约简实例中，对于每个垂直线 (v_j \in V)，存在矩形 (r, r’ \in R) 使得 (lx(r) = j) 且 (rx(r’) = j)。
      • 观察3 ：对不相交 (b) - 正方形穿刺问题的实例应用任何数据约简规则序列后，对于任意两个矩形 (r_1, r_2 \in R)，有 (lx(r_1) > lx(r_2) \Rightarrow rx(r_1) \geq rx(r_2)) 且 (rx(r_1) < rx(r_2) \Rightarrow lx(r_1) \leq lx(r_2))。
      • 观察4 ：在不相交 (b) - 正方形穿刺问题的约简实例中，对于每个 (j \in {1, \ldots, n})，最多有 (k + 1) 个矩形 (r) 满足 (lx(r) = j)。
      • 引理1 ：在约简实例中，对于每个矩形 (r)，最多有 (k) 个矩形 (r’) 满足 (rx(r’) < rx(r)) 且 (lx(r’) \geq lx(r))，并且所有这些矩形都有 (lx(r’) = lx(r))。
      • 引理2 ：在约简实例中，如果矩形 (r) 的宽度 (wh(r) > xk + 1)（(x \geq 2)），则存在矩形 (r’) 使得 (lx(r’) < lx(r)) 且 ((x - 1)k + 1 < wh(r’) \leq xk + 1)。
      • 引理3 ：如果约简实例包含一个宽度 (wh(r) > 2k + 1) 的矩形 (r)，则存在一个矩形 (r’) 满足以下性质：
        • (k + 1 < wh(r’) \leq 2k + 1)。
        • 至少有 (k) 个矩形 (r’‘) 满足 (rx(r’‘) \in {lx(r’), \ldots, rx(r’) - 1})。
        • 所有满足 (rx(r’‘) \in {lx(r’), \ldots, rx(r’) - 1}) 的矩形 (r’‘) 都有 (lx(r’‘) \leq lx(r’))。
        • 所有满足 (rx(r’‘) \in {lx(r’), \ldots, rx(r’) - 1}) 的矩形 (r’‘) 都有 (wh(r’‘) \leq 2k + 1)。
  • 定理5 ：不相交 (b) - 正方形穿刺问题可以在 ((4k + 1)^k \cdot n^{O(1)}) 时间内解决。如果所有矩形的宽度最多为 (2k + 1)，实例可以在 ((2k + 2)^k \cdot n^{O(1)}) 时间内解决；否则，存在如引理3中描述的矩形 (r’)，使得通过 (lx(r’)) 的垂直线与多个宽度最多为 (2k + 1) 的矩形相交，由于没有水平直线与这些矩形中的多个相交，所以解必须包含一条与至少两个这些矩形相交的垂直线，这样的直线最多有 (4k + 1) 条。

下面是不相交 (b) - 正方形穿刺问题的数据约简规则流程图：

graph TD;
    A[输入实例(L, R, k)] --> B{是否存在l1, l2满足规则1};
    B -- 是 --> C[删除l2];
    C --> D{是否存在r1, r2满足规则2};
    B -- 否 --> D;
    D -- 是 --> E[删除r2];
    E --> F{是否存在r1, ..., rk+2满足规则3};
    D -- 否 --> F;
    F -- 是 --> G[删除rk+2];
    F -- 否 --> H[输出约简实例(L', R', k')];
    G --> H;

标签约束外平面图的直线网格绘制

• 问题背景
  • 平面图形的自动美观绘制在计算机网络、VLSI布局、信息可视化等领域有广泛应用。其中，平面图形的直线网格绘制是最典型和广泛研究的绘制风格，即每个顶点绘制为网格点，每条边绘制为无交叉的直线段，其绘制面积是包围该绘制的最小矩形的面积。
  • 已知一个 (n) 个顶点的平面图可以在面积为 (O(n^2)) 的网格上进行直线网格绘制，并且某些平面图的直线网格绘制面积需求有 (\Omega(n^2)) 的下界。虽然树可以在具有线性面积的网格上进行直线网格绘制，但一般认为三角剖分可能需要二次大小的网格。因此，寻找比树更丰富的 (n) 个顶点的平面图类，使其能在面积为 (o(n^2)) 的网格上进行直线网格绘制是一个开放问题。
• 标签约束外平面图的定义和性质
  • 引入了一类外平面图的子类——标签约束外平面图，这类图的对偶树的“顶点标记”满足某些约束。它比“平衡”外平面图更丰富。
  • 可以给出一个线性时间算法来找到标签约束外平面图的直线网格绘制，并且也有一个线性时间算法用于识别标签约束外平面图。
• 相关研究进展
  • 之前的研究中，Garg和Rusu表明一个 (n) 个顶点且最大度为 (d) 的外平面图有面积为 (O(dn^{1.48})) 的平面直线绘制；Di Battista和Frati表明一个“平衡”的 (n) 个顶点的外平面图有面积为 (O(n)) 的直线网格绘制，一般的 (n) 个顶点的外平面图有面积为 (O(n^{1.48})) 的直线网格绘制；Frati最近表明一个 (n) 个顶点的一般外平面图有面积为 (O(dn \log n)) 的直线网格绘制。

下面是标签约束外平面图研究的相关成果对比表格：
| 研究者 | 图的类型 | 绘制面积 |
| ---- | ---- | ---- |
| Garg和Rusu | (n) 个顶点且最大度为 (d) 的外平面图 | (O(dn^{1.48})) |
| Di Battista和Frati | “平衡”的 (n) 个顶点的外平面图 | (O(n)) |
| Di Battista和Frati | 一般的 (n) 个顶点的外平面图 | (O(n^{1.48})) |
| Frati | (n) 个顶点的一般外平面图 | (O(dn \log n)) |
| 本文 | 标签约束外平面图 | (O(n \log n)) |

以上介绍了平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度以及标签约束外平面图的直线网格绘制的相关内容。平面矩形和正方形穿刺问题在复杂度分析和算法设计上有丰富的成果，而标签约束外平面图的直线网格绘制为寻找低面积绘制的平面图类提供了新的思路。未来还有一些开放问题值得研究，例如当输入为不重叠的任意矩形时，矩形穿刺问题是否属于FPT；不相交 (b) - 正方形穿刺问题是否有多项式大小的问题内核；(d) 维矩形穿刺问题在同时以 (k) 和 (d) 为参数时是否属于W[1]等。

平面矩形和正方形穿刺问题的参数化复杂度与标签约束外平面图的直线网格绘制

标签约束外平面图绘制算法及识别算法

• 绘制算法
  • 该线性时间算法的核心目标是为标签约束外平面图找到面积为 (O(n \log n)) 的直线网格绘制。其具体步骤如下：
    1. 对标签约束外平面图的结构进行分析，利用其对偶树的“顶点标记”满足的特定约束条件。
    2. 根据这些约束条件，合理地安排顶点在网格上的位置。在这个过程中，需要考虑顶点之间的连接关系以及如何避免边的交叉。
    3. 确定边的绘制方式，将边绘制为无交叉的直线段。通过精心设计顶点位置和边的绘制，最终实现面积为 (O(n \log n)) 的直线网格绘制。
• 识别算法
  • 线性时间的识别算法用于判断一个图是否为标签约束外平面图。具体流程如下：
    1. 首先，检查图的基本拓扑结构，判断其是否为外平面图。可以通过一些经典的图论算法来完成这一步骤，例如检查图是否可以嵌入到平面上，使得所有顶点都在外部面的边界上。
    2. 若图是外平面图，进一步分析其对偶树的“顶点标记”。判断这些标记是否满足特定的约束条件，这些约束条件是标签约束外平面图的关键特征。
    3. 根据标记的检查结果，确定该图是否为标签约束外平面图。

下面是标签约束外平面图识别算法的流程图：

graph TD;
    A[输入图G] --> B{G是否为外平面图};
    B -- 是 --> C{对偶树顶点标记是否满足约束};
    B -- 否 --> D[不是标签约束外平面图];
    C -- 是 --> E[是标签约束外平面图];
    C -- 否 --> D;

总结与展望

平面矩形和正方形穿刺问题以及标签约束外平面图的直线网格绘制在计算几何和图论领域有着重要的研究价值。
- 平面矩形和正方形穿刺问题
- 在复杂度分析方面，明确了2 - SC1P - 集合覆盖、2 - C1P - 集合覆盖和矩形穿刺问题关于参数 (k) 的W[1] - 困难性，以及不相交 (b) - 正方形穿刺问题在不同 (b) 值下的复杂度情况。
- 在算法设计上，通过数据约简规则和搜索树算法，实现了不相交 (b) - 正方形穿刺问题在 ((4k + 1)^k \cdot n^{O(1)}) 时间内的求解。
- 标签约束外平面图的直线网格绘制
- 成功引入了标签约束外平面图这一概念，它比“平衡”外平面图更丰富。
- 给出了线性时间的绘制算法和识别算法，为寻找低面积绘制的平面图类提供了新的突破。

然而，仍有一些开放问题等待解决：
- 当输入为不重叠的任意矩形时，矩形穿刺问题是否属于FPT，这涉及到该问题在更广泛情况下的计算复杂度。
- 不相交 (b) - 正方形穿刺问题是否有多项式大小的问题内核，这对于优化算法的求解效率至关重要。
- (d) 维矩形穿刺问题在同时以 (k) 和 (d) 为参数时是否属于W[1]，这将拓展矩形穿刺问题在高维空间的研究。

期待未来的研究能够在这些方向上取得进展，进一步完善相关理论和算法。

下面是平面矩形和正方形穿刺问题与标签约束外平面图研究问题总结表格：
| 研究领域 | 现有成果 | 开放问题 |
| ---- | ---- | ---- |
| 平面矩形和正方形穿刺问题 | 明确多个问题的复杂度，设计不相交 (b) - 正方形穿刺问题求解算法 | 不重叠任意矩形的矩形穿刺问题是否属于FPT；不相交 (b) - 正方形穿刺问题是否有多项式大小问题内核；(d) 维矩形穿刺问题在以 (k) 和 (d) 为参数时是否属于W[1] |
| 标签约束外平面图的直线网格绘制 | 引入标签约束外平面图概念，给出绘制和识别算法 | 无 |