69、图平面化与可视化相关研究及竞赛成果

图平面化与可视化相关研究及竞赛成果

1. 图平面化定理

在图论中，有这样一个重要的定理：如果一个具有 (n) 个顶点的图 (G) 的切割宽度为 (w)，那么 (G) 存在一个平面化，该平面化会增加 (O(w^{3/2}n)) 个额外顶点，并且其切割宽度仍为 (O(w))。通过一个由 (O(n/\sqrt{w})) 个大小为 (O(\sqrt{w})) 的不相交团组成的聚类图可以证明这个定理的边界是紧的，在任何绘制中，每个团都需要 (\Theta(w^{2})) 次交叉。

另外，如果图 (G) 具有有界的树宽或分支宽度，并且最大度也是有界的，那么 (G) 存在一个线性大小的平面化，并且该平面化的树宽和分支宽度也是有界的。这是因为树宽和分支宽度总是在一个常数因子内相互关联，我们可以专注于分支宽度的结果，相应的树宽结果会自动得出。具体来说，切割分解可以通过将切割分解的每个叶子（代表给定图的一个顶点）替换为一个子树（代表与给定顶点相邻的边）转换为分支分解，这样每条边在其一个端点处恰好被表示一次，这最多使分解的宽度增加一个等于度的因子；反之，分支分解也可以通过将分支分解的每个叶子（代表给定图的一条边）替换为一个零、一或两个叶子的子树（代表边的端点）转换为切割分解，这最多使分解的宽度增加两倍。所以，切割宽度最多是度乘以分支宽度，至少是分支宽度的一半。因此，如果图 (G) 具有有界的分支宽度和有界的最大度，它就具有有界的切割宽度，进而存在一个线性大小且切割宽度有界的平面化，该平面化的分支宽度也必然有界。

2. 图绘制竞赛概述

今年的图绘制竞赛分为创意主题和现场挑战两部分。创意主题有两个图，一个是关于图绘制研讨会中先前发表论文之间的引用图，另一个是描述人类新陈代谢的超图。