【C++】sophus : rxso2.hpp 描述二维旋转和缩放的数学工具类 (二十)

rxso2.hpp 文件主要实现了一个描述二维空间中旋转和缩放组合的数学对象RxSO2。这个对象结合了旋转群 SO(2) 和正实数缩放群 R+，可以用于表示和操作二维变换。以下是该文件的主要内容总结：

1. 类模板定义：

• template <class Scalar_, int Options = 0> class RxSO2：定义了RxSO2 模板类，用于描述带缩放的旋转矩阵。

• using RxSO2d = RxSO2<double> 和using RxSO2f = RxSO2<float>：分别定义了double 和float 类型的RxSO2。

类和方法实现：

• RxSO2Base：一个模板基类，实现了大部分RxSO2 的功能，包括旋转矩阵和缩放因子的计算、读取和设置。

• RxSO2：派生类，继承自RxSO2Base，提供了具体的数据存储和操作。

辅助函数和操作：

• 复数访问器：提供了对内部复数表示的读写访问，如complex()、data()。

• 矩阵变换和旋转：实现了旋转矩阵和缩放因子的计算，如rotationMatrix()、scale()。

• 指数和对数映射：实现了李群和李代数之间的转换，如exp() 和log()。

• 群操作：实现了对点、直线和超平面的群操作，如operator*()。

特化和映射：

• Eigen::Map 特化：实现了对RxSO2 和RxSO2 const 的特化，使其可以与Eigen 库的其他部分配合使用。

保护机制：

• 确保缩放因子在合理范围内，以避免数值不稳定。

总体来说，rxso2.hpp 文件实现了一个用于描述二维旋转和缩放的数学工具类，可以广泛用于计算机图形学、机器人学等领域。文件通过模板和特化的方式实现了灵活且高效的数值计算功能。

/// R X SO(2) 直积 - 在二维空间中的旋转和缩放。
#pragma once
#include "so2.hpp"  // 包含定义 SO2 类的头文件
namespace Sophus {    template <class Scalar_, int Options = 0>    class RxSO2;  // 定义模板类 RxSO2    using RxSO2d = RxSO2<double>;  // RxSO2 类的 double 类型特化    using RxSO2f = RxSO2<float>;  // RxSO2 类的 float 类型特化} // namespace Sophus
namespace Eigen {    namespace internal {        template <class Scalar_, int Options_>        struct traits<Sophus::RxSO2<Scalar_, Options_>> {            static constexpr int Options = Options_;  // 定义 Options 常量            using Scalar = Scalar_;  // 定义标量类型            using ComplexType = Sophus::Vector2<Scalar, Options>;  // 定义复数类型        };
        template <class Scalar_, int Options_>        struct traits<Map<Sophus::RxSO2<Scalar_>, Options_>> : traits<Sophus::RxSO2<Scalar_, Options_>> {            static constexpr int Options = Options_;  // 定义 Options 常量            using Scalar = Scalar_;  // 定义标量类型            using ComplexType = Map<Sophus::Vector2<Scalar>, Options>;  // 定义复数类型        };
        template <class Scalar_, int Options_>        struct traits<Map<Sophus::RxSO2<Scalar_> const, Options_>> : traits<Sophus::RxSO2<Scalar_, Options_> const> {            static constexpr int Options = Options_;  // 定义 Options 常量            using Scalar = Scalar_;  // 定义标量类型            using ComplexType = Map<Sophus::Vector2<Scalar> const, Options>;  // 定义复数类型        };    } // namespace internal} // namespace Eigen
namespace Sophus {    /// RxSO2 基类型 - 实现了 RxSO2 类但不包含存储特定信息    ///    /// 这个类实现了群 ``R+ x SO(2)``, 即正实数群与二维特殊正交群 SO(2) 的直积。    /// 从几何上看，它是二维空间中的旋转和缩放的群。    /// 作为矩阵群，R+ x SO(2) 由形如 ``s * R`` 的矩阵组成，其中 ``R`` 是行列式为 1 的正交矩阵，``s > 0`` 是正实数。    /// 特别是，它具有如下形式：    ///    /// | s * cos(theta) s * -sin(theta) |    /// | s * sin(theta) s * cos(theta) |    ///    /// 其中 ``theta`` 是旋转角度。在内部，它由旋转矩阵的第一列表示，或者说由一个非零的复数表示。    ///    /// R+ x SO(2) 不是紧群，但它是交换群。首先，它不是紧群，因为缩放因子不受限。其次，它是交换群，因为    /// ``sR(alpha, s1) * sR(beta, s2) = sR(beta, s2) * sR(alpha, s1)``, 只是因为 ``alpha + beta = beta + alpha`` 和 ``s1 * s2 = s2 * s1``    /// 其中 ``alpha`` 和 ``beta`` 是旋转角度，``s1`` 和 ``s2`` 是缩放因子。    ///    /// 这个类有一个显式的类不变性，即缩放 ``s`` 不会过于接近零或无穷大。严格来说，必须满足以下条件：    ///    /// ``complex().norm() >= Constants::epsilon()`` 并且    /// ``1. / complex().norm() >= Constants::epsilon()``。    ///    /// 为了遵守这个条件，群乘法通过饱和实现，使得乘积始终具有不小于这个阈值的缩放比例。
    template <class Derived>    class RxSO2Base {    public:        static constexpr int Options = Eigen::internal::traits<Derived>::Options;  // 定义 Options 常量        using Scalar = typename Eigen::internal::traits<Derived>::Scalar;  // 定义标量类型        using ComplexType = typename Eigen::internal::traits<Derived>::ComplexType;  // 定义复数类型        using ComplexTemporaryType = Sophus::Vector2<Scalar, Options>;  // 定义临时复数类型
        /// 流形的自由度，即切空间的维数 (一个用于旋转，一个用于缩放)。        static int constexpr DoF = 2;  
        /// 使用的内部参数数量 (复数是一个元组)。        static int constexpr num