【C++】sophus : se3.hpp 完整的SE(3)群的实现，包括旋转和平移的组合表示、转换、映射及其相关操作 (十六)...

该代码文件定义了 Sophus 库中用于表示三维空间刚性变换的SE3 类。

文件概要

• 该文件包含SE3 类的定义，用于表示三维空间的旋转和平移。

• 它依赖于so3.hpp 文件，其中定义了SO3 类，用于表示三维空间的旋转。

类定义：SE3

• SE3

   类是SE3Base 的模板特化，用于指定具体的数值类型 (Scalar) 和选项 (Options)。

• 它表示刚性变换，由旋转部分 (so3) 和平移向量 (translation) 组成。

SE3 的成员函数：

• DoF

   和num_parameters：分别表示自由度 (6) 和内部参数个数 (7)。

• Transformation

  ,Point,HomogeneousPoint,Tangent,Adjoint： 定义了用于表示变换矩阵、点、齐次点、切空间向量和伴随矩阵的类型。

• Adj()

  : 计算SE3 元素的伴随矩阵。

• angleX()

  ,angleY(),angleZ(): 分别提取绕 X 轴、Y 轴、Z 轴的旋转角度。

• cast<NewScalarType>()

  : 将当前SE3 对象转换为指定数值类型NewScalarType 的新对象。

• Dx_this_mul_exp_x_at_0()

  : 计算this * exp(x) 在 x=0 处的导数 (相对于 x)。

• Dx_log_this_inv_by_x_at_this()

  : 计算log(this^-1 * x) 在 x=this 处的导数 (相对于 x)。

• inverse()

  : 计算SE3 元素的逆变换。

• log()

  : 计算SE3 元素的对数 (对应于指数映射的逆运算)。

• normalize()

  : 归一化SO3 元素 (通常不需要手动调用)。

• matrix()

  : 返回SE3 元素的 4x4 齐次变换矩阵。

• matrix3x4()

  : 返回变换矩阵的前三行 (旋转矩阵加上平移向量)。

• 赋值运算符 (=): 从另一个SE3 对象拷贝数据。

• 乘法运算符 (*): 计算两个SE3 元素的组合变换。

• 其他乘法运算符 (*)：定义了SE3 元素作用于三维点、齐次点、线段和平面的运算。

• *=

  : 就地更新的乘法运算 (仅当运算结果的数值类型与当前SE3 对象的数值类型一致时有效)。

• rotationMatrix()

  : 返回旋转矩阵。

• so3()

  : 获取或设置SO3 元素 (存取旋转部分)。

• setQuaternion()

  : 设置SO3 元素 (使用四元数表示旋转)。

• setRotationMatrix()

  : 设置SO3 元素 (使用旋转矩阵表示旋转)。

• params()

  : 返回SE3 元素的内部参数向量。

• translation()

  : 获取或设置平移向量。

• unit_quaternion()

  : 获取单位四元数 (表示旋转)。

构造函数：

• SE3()

  : 默认构造函数，初始化为单位变换。

• 其他构造函数：允许使用各种方式创建SE3 对象，例如通过SO3 对象、旋转矩阵、四元数和平移向量等。

其他成员函数：

• data()

  : 提供对内部数据的非安全读写访问 (需要使用者确保四元数保持归一化)。

该代码定义了SE3 类，用于方便地表示和操作三维空间的刚性变换。它提供了丰富的成员函数，可以进行变换的组合、作用于几何对象以及各种参数的存取和计算。

/// @file/// 特殊欧几里得群SE(3) - 三维空间中的旋转和平移。
#pragma once
#include "so3.hpp" // 包含SO3的头文件
namespace Sophus { // Sophus命名空间template <class Scalar_, int Options = 0>class SE3; // 定义模板类SE3using SE3d = SE3<double>; // 定义SE3d为SE3<double>的别名using SE3f = SE3<float>; // 定义SE3f为SE3<float>的别名} // namespace Sophus
namespace Eigen { // Eigen命名空间namespace internal { // 内部命名空间
template <class Scalar_, int Options>struct traits<Sophus::SE3<Scalar_, Options>> { // 定义Sophus::SE3的traits模板结构体  using Scalar = Scalar_; // 定义Scalar类型  using TranslationType = Sophus::Vector3<Scalar, Options>; // 定义平移类型  using SO3Type = Sophus::SO3<Scalar, Options>; // 定义SO3类型};
template <class Scalar_, int Options>struct traits<Map<Sophus::SE3<Scalar_>, Options>>    : traits<Sophus::SE3<Scalar_, Options>> { // 定义Sophus::SE3的Map类型的traits模板结构体  using Scalar = Scalar_; // 定义Scalar类型  using TranslationType = Map<Sophus::Vector3<Scalar>, Options>; // 定义平移类型  using SO3Type = Map<Sophus::SO3<Scalar>, Options>; // 定义SO3类型};
template <class Scalar_, int Options>struct traits<Map<Sophus::SE3<Scalar_> const, Options>>    : traits<Sophus::SE3<Scalar_, Options> const> { // 定义const类型的Map类型的traits模板结构体  using Scalar = Scalar_; // 定义Scalar类型  using TranslationType = Map<Sophus::Vector3<Scalar> const, Options>; // 定义平移类型  using SO3Type = Map<Sophus::SO3<Scalar> const, Options>; // 定义SO3类型};} // namespace internal} // namespace Eigen
namespace Sophus {
/// SE3基础类型 - 实现SE3类，但与存储无关。////// SE(3)是三维空间中的旋转和平移群。它是SO(3)与三维欧几里得向量空间的半直积。该类/// 使用SO3表示旋转，用一个3维向量表示平移。////// SE(3)既不是紧群，也不是交换群。////// 有关三维旋转表示的更多细节，请参见SO3。///template <class Derived>class SE3Base { public:  using Scalar = typename Eigen::internal::traits<Derived>::Scalar; // 定义标量类型  using TranslationType =      typename Eigen::internal::traits<Derived>::TranslationType; // 定义平移类型  using SO3Type = typename Eigen::internal::traits<Derived>::SO3Type; // 定义SO3类型  using QuaternionType = typename SO3Type::QuaternionType; // 定义四元数类型  /// 流形的自由度，切空间中的维数  /// （平移为三维，旋转为三维）。  static int constexpr DoF = 6; // 自由度为6  /// 使用的内部参数数量（四元数的4元组，平移的3元组）。  static int constexpr num_parameters = 7; // 内部参数数量为7  /// 群变换为4x4矩阵。  static int constexpr N = 4; // 变换矩阵为4x4  /// 点为3维  static int constexpr Dim = 3; // 点的维数为3  using Transformation = Matrix<Scalar, N, N>; // 定义变换矩阵类型  using Point = Vector3<Scalar>; // 定义点类型  using HomogeneousPoint = Vector4<Scalar>; // 定义齐次点类型  using Line = ParametrizedLine3<Scalar>; // 定义参数化线类型  using Hyperplane = Hyperplane3<Scalar>; // 定义超平面类型  using Tangent = Vector<Scalar, DoF>; // 定义切向量类型  using Adjoint = Matrix<Scalar, DoF, DoF>; // 定义伴随矩阵类型
  /// 对于二元操作，返回类型由  /// Eigen的ScalarBinaryOpTraits特性确定。这允许混合具体和Map类型，  /// 以及其他兼容的标量类型，如Ceres::Jet和  /// double标量与SE3操作。  template <typename OtherDerived>  using ReturnScalar = typename Eigen::ScalarBinaryOpTraits<      Scalar, typename OtherDerived::Scalar>::ReturnType; // 定义返回标量类型
  template <typename OtherDerived>  using SE3Product = SE3<ReturnScalar<OtherDerived>>; // 定义SE3乘积类型
  template <typename PointDerived>  using PointProduct = Vector3<ReturnScalar<PointDerived>>; // 定义点乘积类型
  template <typename HPointDerived>  using HomogeneousPointProduct = Vector4<ReturnScalar<HPointDerived>>; // 定义齐次点乘积类型
  /// 伴随变换  ///  /// 这个函数返回群元素``A``的伴随变换``Ad``，对于所有``x``，满足  /// ``hat(Ad_A * x) = A * hat(x) A^{-1}``。见下面的hat运算符。  ///  SOPHUS_FUNC Adjoint Adj() const {    Sophus::Matrix3<Scalar> const R = so3().matrix(); // 获取SO3矩阵    Adjoint res; // 定义伴随矩阵    res.block(0, 0, 3, 3) = R; // 设置伴随矩阵块    res.block(3, 3, 3, 3) = R; // 设置伴随矩阵块    res.block(0, 3, 3, 3) = SO3<Scalar>::hat(translation()) * R; // 设置伴随矩阵块    res.block(3, 0, 3, 3) = Matrix3<Scalar>::Zero(3, 3); // 设置伴随矩阵块    return res; // 返回伴随矩阵  }
  /// 提取绕X轴的旋转角度  ///  Scalar angleX() const { return so3().angleX(); } // 调用so3()对象的angleX()方法，返回绕X轴的旋转角度
  /// 提取绕Y轴的旋转角度  ///  Scalar angleY() const { return so3().angleY(); } // 调用so3()对象的angleY()方法，返回绕Y轴的旋转角度
  /// 提取绕Z轴的旋转角度  ///  Scalar angleZ() const { return so3().angleZ(); } // 调用so3()对象的angleZ()方法，返回绕Z轴的旋转角度
  /// 返回实例转换为NewScalarType类型的副本  ///  template <class NewScalarType>  SOPHUS_FUNC SE3<NewScalarType> cast() const { // 模板函数，返回NewScalarType类型的SE3对象    return SE3<NewScalarType>(so3().template cast<NewScalarType>(),                              translation().template cast<NewScalarType>()); // 转换so3和translation为NewScalarType类型  }
  /// 返回this * exp(x)对x在x=0处的导数  ///  SOPHUS_FUNC Matrix<Scalar, num_parameters, DoF> Dx_this_mul_exp_x_at_0()      const { // 返回矩阵类型的导数    Matrix<Scalar, num_parameters, DoF> J; // 定义矩阵J    Eigen::Quaternion<Scalar> const q = unit_quaternion(); // 获取单位四元数    Scalar const c0 = Scalar(0.5) * q.w(); // 计算常数c0    Scalar const c1 = Scalar(0.5) * q.z(); // 计算常数c1    Scalar const c2 = -c1; // 计算常数c2    Scalar const c3 = Scalar(0.5) * q.y(); // 计算常数c3    Scalar const c4 = Scalar(0.5) * q.x(); // 计算常数c4    Scalar const c5 = -c4; // 计算常数c5    Scalar const c6 = -c3; // 计算常数c6    Scalar const c7 = q.w() * q.w(); // 计算常数c7    Scalar const c8 = q.x() * q.x(); // 计算常数c8    Scalar const c9 = q.y() * q.y(); // 计算常数c9    Scalar const c10 = -c9; // 计算常数c10    Scalar const c11 = q.z() * q.z(); // 计算常数c11    Scalar const c12 = -c11; // 计算常数c12    Scalar const c13 = Scalar(2) * q.w(); // 计算常数c13    Scalar const c14 = c13 * q.z(); // 计算常数c14    Scalar const c15 = Scalar(2) * q.x(); // 计算常数c15    Scalar const c16 = c15 * q.y(); // 计算常数c16    Scalar const c17 = c13 * q.y(); // 计算常数c17    Scalar const c18 = c15 * q.z(); // 计算常数c18    Scalar const c19 = c7 - c8; // 计算常数c19    Scalar const c20 = c13 * q.x(); // 计算常数c20    Scalar const c21 = Scalar(2) * q.y() * q.z(); // 计算常数c21    J(0, 0) = 0; // 设置矩阵J的值    J(0, 1) = 0;    J(0, 2) = 0;    J(0, 3) = c0;    J(0, 4) = c2;    J(0, 5) = c3;    J(1, 0) = 0;    J(1, 1) = 0;    J(1, 2) = 0;    J(1, 3) = c1;    J(1, 4) = c0;    J(1, 5) = c5;    J(2, 0) = 0;    J(2, 1) = 0;    J(2, 2) = 0;    J(2, 3) = c6;    J(2, 4) = c4;    J(2, 5) = c0;    J(3, 0) = 0;    J(3, 1) = 0;    J(3, 2) = 0;    J(3, 3) = c5;    J(3, 4) = c6;    J(3, 5) = c2;    J(4, 0) = c10 + c12 + c7 + c8;    J(4, 1) = -c14 + c16;    J(4, 2) = c17 + c18;    J(4, 3) = 0;    J(4, 4) = 0;    J(4, 5) = 0;    J(5, 0) = c14 + c16;    J(5, 1) = c12 + c19 + c9;    J(5, 2) = -c20 + c21;    J(5, 3) = 0;    J(5, 4) = 0;    J(5, 5) = 0;    J(6, 0) = -c17 + c18;    J(6, 1) = c20 + c21;    J(6, 2) = c10 + c11 + c19;    J(6, 3) = 0;    J(6, 4) = 0;    J(6, 5) = 0;    return J; // 返回矩阵J  }
  /// 返回log(this^{-1} * x)对x在x=this处的导数  ///  SOPHUS_FUNC Matrix<Scalar, DoF, num_parameters> Dx_log_this_inv_by_x_at_this()      const { // 返回矩阵类型的导数    Matrix<Scalar, DoF, num_parameters> J; // 定义矩阵J    J.template block<3, 4>(0, 0).setZero(); // 将矩阵J的部分块设置为零    J.template block<3, 3>(0, 4) = so3().inverse().matrix(); // 设置矩阵J的一部分为so3的逆矩阵    J.template block<3, 4>(3, 0) = so3().Dx_log_this_inv_by_x_at_this(); // 设置矩阵J的一部分为so3的对数导数    J.template block<3, 3>(3, 4).setZero(); // 将矩阵J的部分块设置为零    return J; // 返回矩阵J  }
  /// 返回群的逆元素。  ///  SOPHUS_FUNC SE3<Scalar> inverse() const { // 定义一个函数返回SE3的逆元素    SO3<Scalar> invR = so3().inverse(); // 计算SO3的逆    return SE3<Scalar>(invR, invR * (translation() * Scalar(-1))); // 返回由逆SO3和平移的负值构造的SE3  }
  /// 对数映射  ///  /// 计算对数，即群指数的逆，将群的元素（刚体变换）映射到切空间的元素（扭转）。  ///  /// 具体来说，该函数计算``vee(logmat(.))``，其中``logmat(.)``是矩阵对数，``vee(.)``是SE(3)的vee算子。  ///  SOPHUS_FUNC Tangent log() const { // 定义一个函数返回切向量    // 有关SE(3)对数的推导，请参见    // J. Gallier, D. Xu, "计算反对称矩阵的指数和正交矩阵的对数", IJRA 2002。    // https:///pdfs.semanticscholar.org/cfe3/e4b39de63c8cabd89bf3feff7f5449fc981d.pdf    // (第6节，第8页)    using std::abs;    using std::cos;    using std::sin;    Tangent upsilon_omega; // 定义切向量    auto omega_and_theta = so3().logAndTheta(); // 获取旋转角和旋转轴    Scalar theta = omega_and_theta.theta; // 提取旋转角    Vector3<Scalar> const& omega = omega_and_theta.tangent; // 提取旋转轴    upsilon_omega.template tail<3>() = omega; // 设置切向量的后3个元素为旋转轴    Matrix3<Scalar> V_inv = SO3<Scalar>::leftJacobianInverse(omega, theta); // 计算左雅可比矩阵的逆    upsilon_omega.template head<3>() = V_inv * translation(); // 设置切向量的前3个元素为平移向量    return upsilon_omega; // 返回切向量  }
  /// 重新归一化SO3元素。  ///  /// 注意：由于SO3类的不变性，通常不需要直接调用此函数。  ///  SOPHUS_FUNC void normalize() { so3().normalize(); } // 重新归一化SO3
  /// 返回实例的4x4矩阵表示。  ///  /// 它的形式如下：  ///  ///   | R t |  ///   | o 1 |  ///  /// 其中``R``是3x3旋转矩阵，``t``是一个3维平移向量，``o``是一个3列的零向量。  ///  SOPHUS_FUNC Transformation matrix() const { // 定义一个函数返回变换矩阵    Transformation homogeneous_matrix; // 定义齐次矩阵    homogeneous_matrix.template topLeftCorner<3, 4>() = matrix3x4(); // 设置齐次矩阵的左上角为3x4矩阵    homogeneous_matrix.row(3) =        Matrix<Scalar, 1, 4>(Scalar(0), Scalar(0), Scalar(0), Scalar(1)); // 设置齐次矩阵的最后一行为(0, 0, 0, 1)    return homogeneous_matrix; // 返回齐次矩阵  }
  /// 返回上述矩阵的前三行。  ///  SOPHUS_FUNC Matrix<Scalar, 3, 4> matrix3x4() const { // 定义一个函数返回3x4矩阵    Matrix<Scalar, 3, 4> matrix; // 定义3x4矩阵    matrix.template topLeftCorner<3, 3>() = rotationMatrix(); // 设置矩阵的左上角为旋转矩阵    matrix.col(3) = translation(); // 设置矩阵的第4列为平移向量    return matrix; // 返回矩阵  }
  /// 类似赋值操作符，从OtherDerived赋值。  ///  template <class OtherDerived>  SOPHUS_FUNC SE3Base<Derived>& operator=(SE3Base<OtherDerived> const& other) { // 定义赋值操作符    so3() = other.so3(); // 赋值SO3    translation() = other.translation(); // 赋值平移向量    return *this; // 返回当前对象  }
  /// 群乘法，即旋转连接。  ///  template <typename OtherDerived>  SOPHUS_FUNC SE3Product<OtherDerived> operator*(      SE3Base<OtherDerived> const& other) const { // 定义乘法操作符    return SE3Product<OtherDerived>(        so3() * other.so3(), translation() + so3() * other.translation()); // 返回旋转和平移的组合  }
  /// 群作用于3点。  ///  /// 这个函数通过SE(3)元素``bar_T_foo = (bar_R_foo, t_bar)``（即刚体变换）旋转和平移三维点``p``：  ///  ///   ``p_bar = bar_R_foo * p_foo + t_bar``。  ///  template <typename PointDerived,            typename = typename std::enable_if_t<                IsFixedSizeVector<PointDerived, 3>::value>>  SOPHUS_FUNC PointProduct<PointDerived> operator*(      Eigen::MatrixBase<PointDerived> const& p) const { // 定义乘法操作符    return so3() * p + translation(); // 返回旋转和平移后的点  }
  /// 群作用于齐次3点。详见上文。  ///  template <typename HPointDerived,            typename = typename std::enable_if_t<                IsFixedSizeVector<HPointDerived, 4>::value>>  SOPHUS_FUNC HomogeneousPointProduct<HPointDerived> operator*(      Eigen::MatrixBase<HPointDerived> const& p) const { // 定义乘法操作符    const PointProduct<HPointDerived> tp =        so3() * p.template head<3>() + p(3) * translation(); // 计算旋转和平移后的点    return HomogeneousPointProduct<HPointDerived>(tp(0), tp(1), tp(2), p(3)); // 返回齐次点  }
  /// 群作用于直线。  ///  /// 这个函数通过SE(3)元素旋转和平移参数化直线  /// ``l(t) = o + t * d``：  ///  /// 原点使用SE(3)变换  /// 方向使用旋转部分变换  ///  SOPHUS_FUNC Line operator*(Line const& l) const { // 定义乘法操作符    return Line((*this) * l.origin(), so3() * l.direction()); // 返回变换后的直线  }
  /// 群作用于平面。  ///  /// 这个函数通过SE(3)元素旋转和平移平面  /// ``n.x + d = 0``：  ///  /// 法向量``n``被旋转  /// 偏移``d``根据平移调整  ///  SOPHUS_FUNC Hyperplane operator*(Hyperplane const& p) const { // 定义乘法操作符    Hyperplane const rotated = so3() * p; // 旋转平面    return Hyperplane(rotated.normal(),                      rotated.offset() - translation().dot(rotated.normal())); // 返回变换后的平面  }
  /// 就地群乘法。只有在乘法的返回类型与该SE3的Scalar类型兼容时，该方法才有效。  ///  template <typename OtherDerived,            typename = typename std::enable_if_t<                std::is_same<Scalar, ReturnScalar<OtherDerived>>::value>>  SOPHUS_FUNC SE3Base<Derived>& operator*=(SE3Base<OtherDerived> const& other) { // 定义乘法赋值操作符    *static_cast<Derived*>(this) = *this * other; // 就地群乘法    return *this; // 返回当前对象  }
  /// 返回旋转矩阵。  ///  SOPHUS_FUNC Matrix3<Scalar> rotationMatrix() const { return so3().matrix(); } // 返回旋转矩阵
  /// SO3群的修改器。  ///  SOPHUS_FUNC SO3Type& so3() { return static_cast<Derived*>(this)->so3(); } // 返回SO3的引用
  /// SO3群的访问器。  ///  SOPHUS_FUNC SO3Type const& so3() const {    return static_cast<const Derived*>(this)->so3();  } // 返回SO3的常量引用
  /// 接受四元数，并将其归一化。  ///  /// 前提条件：四元数不能接近零。  ///  SOPHUS_FUNC void setQuaternion(Eigen::Quaternion<Scalar> const& quat) {    so3().setQuaternion(quat);  } // 设置四元数并归一化
  /// 使用``rotation_matrix``设置``so3``。  ///  /// 前提条件：``R``必须是正交的且``det(R)=1``。  ///  SOPHUS_FUNC void setRotationMatrix(Matrix3<Scalar> const& R) {    SOPHUS_ENSURE(isOrthogonal(R), "R is not orthogonal:\n {}", (R)); // 确保R是正交矩阵    SOPHUS_ENSURE(R.determinant() > Scalar(0), "det(R) is not positive: {}",                  (R.determinant())); // 确保R的行列式大于0    so3().setQuaternion(Eigen::Quaternion<Scalar>(R)); // 设置旋转矩阵  }
  /// 返回SE(3)的内部参数。  ///  /// 它返回(q.imag[0], q.imag[1], q.imag[2], q.real, t[0], t[1], t[2])，  /// 其中q是单位四元数，t是平移3向量。  ///  SOPHUS_FUNC Sophus::Vector<Scalar, num_parameters> params() const {    Sophus::Vector<Scalar, num_parameters> p; // 定义参数向量    p << so3().params(), translation(); // 将SO3和平移向量的参数复制到参数向量    return p; // 返回参数向量  }
  /// 平移向量的修改器。  ///  SOPHUS_FUNC TranslationType& translation() {    return static_cast<Derived*>(this)->translation();  } // 返回平移向量的引用
  /// 平移向量的访问器  ///  SOPHUS_FUNC TranslationType const& translation() const {    return static_cast<Derived const*>(this)->translation();  } // 返回平移向量的常量引用
  /// 单位四元数的访问器。  ///  SOPHUS_FUNC QuaternionType const& unit_quaternion() const {    return this->so3().unit_quaternion();  } // 返回单位四元数的常量引用};
/// 使用默认存储的SE3类；继承自SE3Base。template <class Scalar_, int Options>class SE3 : public SE3Base<SE3<Scalar_, Options>> {  using Base = SE3Base<SE3<Scalar_, Options>>; // 定义Base为SE3Base的别名
 public:  static int constexpr DoF = Base::DoF; // 定义自由度  static int constexpr num_parameters = Base::num_parameters; // 定义参数数量
  using Scalar = Scalar_; // 定义标量类型  using Transformation = typename Base::Transformation; // 定义变换矩阵类型  using Point = typename Base::Point; // 定义点类型  using HomogeneousPoint = typename Base::HomogeneousPoint; // 定义齐次点类型  using Tangent = typename Base::Tangent; // 定义切向量类型  using Adjoint = typename Base::Adjoint; // 定义伴随矩阵类型  using SO3Member = SO3<Scalar, Options>; // 定义SO3成员类型  using TranslationMember = Vector3<Scalar, Options>; // 定义平移成员类型
  using Base::operator=; // 使用基类的赋值操作符
  /// 显式定义拷贝赋值操作符。在存在用户声明的拷贝构造函数的情况下，隐式拷贝赋值操作符的定义已被弃用。  SOPHUS_FUNC SE3& operator=(SE3 const& other) = default;
  EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW // 使用Eigen库对齐运算符
  /// 默认构造函数将刚体运动初始化为单位矩阵。  ///  SOPHUS_FUNC SE3(); // 默认构造函数
  /// 拷贝构造函数  ///  SOPHUS_FUNC SE3(SE3 const& other) = default; // 拷贝构造函数
  /// 从OtherDerived类型的对象拷贝构造。  ///  template <class OtherDerived>  SOPHUS_FUNC SE3(SE3Base<OtherDerived> const& other)      : so3_(other.so3()), translation_(other.translation()) { // 使用SO3和平移向量初始化    static_assert(std::is_same<typename OtherDerived::Scalar, Scalar>::value,                  "must be same Scalar type"); // 编译期断言确保标量类型相同  }
  /// 从SO3和平移向量构造。  ///  template <class OtherDerived, class D>  SOPHUS_FUNC SE3(SO3Base<OtherDerived> const& so3,                  Eigen::MatrixBase<D> const& translation)      : so3_(so3), translation_(translation) { // 使用SO3和平移向量初始化    static_assert(std::is_same<typename OtherDerived::Scalar, Scalar>::value,                  "must be same Scalar type"); // 编译期断言确保标量类型相同    static_assert(std::is_same<typename D::Scalar, Scalar>::value,                  "must be same Scalar type"); // 编译期断言确保标量类型相同  }
  /// 从旋转矩阵和平移向量构造  ///  /// 前提条件：旋转矩阵需要是正交的且行列式为1。  ///  SOPHUS_FUNC  SE3(Matrix3<Scalar> const& rotation_matrix, Point const& translation)      : so3_(rotation_matrix), translation_(translation) {} // 使用旋转矩阵和平移向量初始化
  /// 从四元数和平移向量构造。  ///  /// 前提条件：四元数不能接近零。  ///  SOPHUS_FUNC SE3(Eigen::Quaternion<Scalar> const& quaternion,                  Point const& translation)      : so3_(quaternion), translation_(translation) {} // 使用四元数和平移向量初始化
  /// 从4x4矩阵构造  ///  /// 前提条件：旋转矩阵需要是正交的且行列式为1。最后一行必须是``(0, 0, 0, 1)``。  ///  SOPHUS_FUNC explicit SE3(Matrix4<Scalar> const& T)      : so3_(T.template topLeftCorner<3, 3>()),        translation_(T.template block<3, 1>(0, 3)) { // 使用4x4矩阵初始化    SOPHUS_ENSURE((T.row(3) - Matrix<Scalar, 1, 4>(Scalar(0), Scalar(0),                                                   Scalar(0), Scalar(1)))                          .squaredNorm() < Constants<Scalar>::epsilon(),                  "Last row is not (0,0,0,1), but ({}).", (T.row(3))); // 确保最后一行是(0, 0, 0, 1)  }
  /// 提供对内部数据的不安全读/写访问。SO(3)由Eigen::Quaternion表示（四个参数）。使用直接写访问时，用户需要确保四元数保持归一化。  ///  SOPHUS_FUNC Scalar* data() {    // so3_和translation_是顺序排列的，没有填充    return so3_.data();  }
  /// data()的常量版本。  ///  SOPHUS_FUNC Scalar const* data() const {    // so3_和translation_是顺序排列的，没有填充    return so3_.data();  }
  /// SO3的修改器  ///  SOPHUS_FUNC SO3Member& so3() { return so3_; } // 返回SO3的引用
  /// SO3的访问器  ///  SOPHUS_FUNC SO3Member const& so3() const { return so3_; } // 返回SO3的常量引用
  /// 平移向量的修改器  ///  SOPHUS_FUNC TranslationMember& translation() { return translation_; } // 返回平移向量的引用
  /// 平移向量的访问器  ///  SOPHUS_FUNC TranslationMember const& translation() const {    return translation_;  } // 返回平移向量的常量引用
  SOPHUS_FUNC static Matrix3<Scalar> jacobianUpperRightBlock( // 计算雅可比矩阵的右上角块      Vector3<Scalar> const& upsilon, Vector3<Scalar> const& omega) {    using std::cos;    using std::sin;    using std::sqrt;
    Scalar const k1By2(0.5); // 定义常数0.5
    Scalar const theta_sq = omega.squaredNorm(); // 计算omega的平方范数    Matrix3<Scalar> const Upsilon = SO3<Scalar>::hat(upsilon); // 计算upsilon的反对称矩阵
    Matrix3<Scalar> Q; // 定义矩阵Q    if (theta_sq <        Constants<Scalar>::epsilon() * Constants<Scalar>::epsilon()) { // 检查theta_sq是否接近零      Q = k1By2 * Upsilon; // 如果接近零，Q等于0.5倍的Upsilon
    } else {      Scalar const theta = sqrt(theta_sq); // 计算theta      Scalar const i_theta = Scalar(1) / theta; // 计算theta的倒数      Scalar const i_theta_sq = i_theta * i_theta; // 计算theta倒数的平方      Scalar const i_theta_po4 = i_theta_sq * i_theta_sq; // 计算theta倒数的四次方      Scalar const st = sin(theta); // 计算sin(theta)      Scalar const ct = cos(theta); // 计算cos(theta)      Scalar const c1 = i_theta_sq - st * i_theta_sq * i_theta; // 计算常数c1      Scalar const c2 = k1By2 * i_theta_sq + ct * i_theta_po4 - i_theta_po4; // 计算常数c2      Scalar const c3 = i_theta_po4 + k1By2 * ct * i_theta_po4 -                        Scalar(1.5) * st * i_theta * i_theta_po4; // 计算常数c3
      Matrix3<Scalar> const Omega = SO3<Scalar>::hat(omega); // 计算omega的反对称矩阵      Matrix3<Scalar> const OmegaUpsilon = Omega * Upsilon; // 计算Omega和Upsilon的乘积      Matrix3<Scalar> const OmegaUpsilonOmega = OmegaUpsilon * Omega; // 计算OmegaUpsilon和Omega的乘积      Q = k1By2 * Upsilon +          c1 * (OmegaUpsilon + Upsilon * Omega + OmegaUpsilonOmega) -          c2 * (theta_sq * Upsilon + Scalar(2) * OmegaUpsilonOmega) +          c3 * (OmegaUpsilonOmega * Omega + Omega * OmegaUpsilonOmega); // 计算Q    }    return Q; // 返回Q  }
  SOPHUS_FUNC static Sophus::Matrix<Scalar, DoF, DoF> leftJacobian( // 计算左雅可比矩阵      Tangent const& upsilon_omega) {    Vector3<Scalar> const upsilon = upsilon_omega.template head<3>(); // 提取upsilon    Vector3<Scalar> const omega = upsilon_omega.template tail<3>(); // 提取omega    Matrix3<Scalar> const J = SO3<Scalar>::leftJacobian(omega); // 计算SO3的左雅可比矩阵    Matrix3<Scalar> Q = jacobianUpperRightBlock(upsilon, omega); // 计算右上角块    Matrix6<Scalar> U; // 定义6x6矩阵U    U << J, Q, Matrix3<Scalar>::Zero(), J; // 设置U的值    return U; // 返回U  }
  SOPHUS_FUNC static Sophus::Matrix<Scalar, DoF, DoF> leftJacobianInverse( // 计算左雅可比矩阵的逆      Tangent const& upsilon_omega) {    Vector3<Scalar> const upsilon = upsilon_omega.template head<3>(); // 提取upsilon    Vector3<Scalar> const omega = upsilon_omega.template tail<3>(); // 提取omega    Matrix3<Scalar> const J_inv = SO3<Scalar>::leftJacobianInverse(omega); // 计算SO3的左雅可比矩阵的逆    Matrix3<Scalar> Q = jacobianUpperRightBlock(upsilon, omega); // 计算右上角块    Matrix6<Scalar> U; // 定义6x6矩阵U    U << J_inv, -J_inv * Q * J_inv, Matrix3<Scalar>::Zero(), J_inv; // 设置U的值    return U; // 返回U  }
  /// 返回exp(x)关于x的导数。  ///  SOPHUS_FUNC static Sophus::Matrix<Scalar, num_parameters, DoF> Dx_exp_x(      Tangent const& upsilon_omega) { // 定义静态函数，返回矩阵类型的导数    using std::cos;    using std::pow;    using std::sin;    using std::sqrt;    Sophus::Matrix<Scalar, num_parameters, DoF> J; // 定义矩阵J    Sophus::Vector<Scalar, 3> upsilon = upsilon_omega.template head<3>(); // 提取upsilon向量    Sophus::Vector<Scalar, 3> omega = upsilon_omega.template tail<3>(); // 提取omega向量
    Scalar const c0 = omega[0] * omega[0]; // 计算omega[0]的平方    Scalar const c1 = omega[1] * omega[1]; // 计算omega[1]的平方    Scalar const c2 = omega[2] * omega[2]; // 计算omega[2]的平方    Scalar const c3 = c0 + c1 + c2; // 计算omega的平方和    Scalar const o(0); // 定义常数0    Scalar const h(0.5); // 定义常数0.5    Scalar const i(1); // 定义常数1
    if (c3 < Constants<Scalar>::epsilon()) { // 如果omega的平方和小于一个很小的值      Scalar const ux = Scalar(0.5) * upsilon[0]; // 计算upsilon[0]的一半      Scalar const uy = Scalar(0.5) * upsilon[1]; // 计算upsilon[1]的一半      Scalar const uz = Scalar(0.5) * upsilon[2]; // 计算upsilon[2]的一半
      /// clang格式化关闭      J << o, o, o, h, o, o, o, o, o, o, h, o, o, o, o, o, o, h, o, o, o, o, o,          o, i, o, o, o, uz, -uy, o, i, o, -uz, o, ux, o, o, i, uy, -ux, o; // 设置矩阵J的值      /// clang格式化开启      return J; // 返回矩阵J    }
    Scalar const c4 = sqrt(c3); // 计算omega的范数    Scalar const c5 = Scalar(1.0) / c4; // 计算omega范数的倒数    Scalar const c6 = Scalar(0.5) * c4; // 计算omega范数的一半    Scalar const c7 = sin(c6); // 计算sin(c6)    Scalar const c8 = c5 * c7; // 计算c5乘以c7    Scalar const c9 = pow(c3, -3.0L / 2.0L); // 计算c3的-3/2次方    Scalar const c10 = c7 * c9; // 计算c7乘以c9    Scalar const c11 = Scalar(1.0) / c3; // 计算c3的倒数    Scalar const c12 = cos(c6); // 计算cos(c6)    Scalar const c13 = Scalar(0.5) * c11 * c12; // 计算0.5乘以c11乘以c12    Scalar const c14 = c7 * c9 * omega[0]; // 计算c7乘以c9乘以omega[0]    Scalar const c15 = Scalar(0.5) * c11 * c12 * omega[0]; // 计算0.5乘以c11乘以c12乘以omega[0]    Scalar const c16 = -c14 * omega[1] + c15 * omega[1]; // 计算c16    Scalar const c17 = -c14 * omega[2] + c15 * omega[2]; // 计算c17    Scalar const c18 = omega[1] * omega[2]; // 计算omega[1]乘以omega[2]    Scalar const c19 = -c10 * c18 + c13 * c18; // 计算c19    Scalar const c20 = c5 * omega[0]; // 计算c5乘以omega[0]    Scalar const c21 = Scalar(0.5) * c7; // 计算0.5乘以c7    Scalar const c22 = c5 * omega[1]; // 计算c5乘以omega[1]    Scalar const c23 = c5 * omega[2]; // 计算c5乘以omega[2]    Scalar const c24 = -c1; // 计算-c1    Scalar const c25 = -c2; // 计算-c2    Scalar const c26 = c24 + c25; // 计算c26    Scalar const c27 = sin(c4); // 计算sin(c4)    Scalar const c28 = -c27 + c4; // 计算c28    Scalar const c29 = c28 * c9; // 计算c28乘以c9    Scalar const c30 = cos(c4); // 计算cos(c4)    Scalar const c31 = -c30 + Scalar(1); // 计算c31    Scalar const c32 = c11 * c31; // 计算c32    Scalar const c33 = c32 * omega[2]; // 计算c33    Scalar const c34 = c29 * omega[0]; // 计算c34    Scalar const c35 = c34 * omega[1]; // 计算c35    Scalar const c36 = c32 * omega[1]; // 计算c36    Scalar const c37 = c34 * omega[2]; // 计算c37    Scalar const c38 = pow(c3, -5.0L / 2.0L); // 计算c3的-5/2次方    Scalar const c39 = Scalar(3) * c28 * c38 * omega[0]; // 计算c39    Scalar const c40 = c26 * c9; // 计算c40    Scalar const c41 = -c20 * c30 + c20; // 计算c41    Scalar const c42 = c27 * c9 * omega[0]; // 计算c42    Scalar const c43 = c42 * omega[1]; // 计算c43    Scalar const c44 = pow(c3, -2); // 计算c3的-2次方    Scalar const c45 = Scalar(2) * c31 * c44 * omega[0]; // 计算c45    Scalar const c46 = c45 * omega[1]; // 计算c46    Scalar const c47 = c29 * omega[2]; // 计算c47    Scalar const c48 = c43 - c46 + c47; // 计算c48    Scalar const c49 = Scalar(3) * c0 * c28 * c38; // 计算c49    Scalar const c50 = c9 * omega[0] * omega[2]; // 计算c50    Scalar const c51 = c41 * c50 - c49 * omega[2]; // 计算c51    Scalar const c52 = c9 * omega[0] * omega[1]; // 计算c52    Scalar const c53 = c41 * c52 - c49 * omega[1]; // 计算c53    Scalar const c54 = c42 * omega[2]; // 计算c54    Scalar const c55 = c45 * omega[2]; // 计算c55    Scalar const c56 = c29 * omega[1]; // 计算c56    Scalar const c57 = -c54 + c55 + c56; // 计算c57    Scalar const c58 = Scalar(-2) * c56; // 计算c58    Scalar const c59 = Scalar(3) * c28 * c38 * omega[1]; // 计算c59    Scalar const c60 = -c22 * c30 + c22; // 计算c60    Scalar const c61 = -c18 * c39; // 计算c61    Scalar const c62 = c32 + c61; // 计算c62    Scalar const c63 = c27 * c9; // 计算c63    Scalar const c64 = c1 * c63; // 计算c64    Scalar const c65 = Scalar(2) * c31 * c44; // 计算c65    Scalar const c66 = c1 * c65; // 计算c66    Scalar const c67 = c50 * c60; // 计算c67    Scalar const c68 = -c1 * c39 + c52 * c60; // 计算c68    Scalar const c69 = c18 * c63; // 计算c69    Scalar const c70 = c18 * c65; // 计算c70    Scalar const c71 = c34 - c69 + c70; // 计算c71    Scalar const c72 = Scalar(-2) * c47; // 计算c72    Scalar const c73 = Scalar(3) * c28 * c38 * omega[2]; // 计算c73    Scalar const c74 = -c23 * c30 + c23; // 计算c74    Scalar const c75 = -c32 + c61; // 计算c75    Scalar const c76 = c2 * c63; // 计算c76    Scalar const c77 = c2 * c65; // 计算c77    Scalar const c78 = c52 * c74; // 计算c78    Scalar const c79 = c34 + c69 - c70; // 计算c79    Scalar const c80 = -c2 * c39 + c50 * c74; // 计算c80    Scalar const c81 = -c0; // 计算-c0    Scalar const c82 = c25 + c81; // 计算c82    Scalar const c83 = c32 * omega[0]; // 计算c83    Scalar const c84 = c18 * c29; // 计算c84    Scalar const c85 = Scalar(-2) * c34; // 计算c85    Scalar const c86 = c82 * c9; // 计算c86    Scalar const c87 = c0 * c63; // 计算c87    Scalar const c88 = c0 * c65; // 计算c88    Scalar const c89 = c9 * omega[1] * omega[2]; // 计算c89    Scalar const c90 = c41 * c89; // 计算c90    Scalar const c91 = c54 - c55 + c56; // 计算c91    Scalar const c92 = -c1 * c73 + c60 * c89; // 计算c92    Scalar const c93 = -c43 + c46 + c47; // 计算c93    Scalar const c94 = -c2 * c59 + c74 * c89; // 计算c94    Scalar const c95 = c24 + c81; // 计算c95    Scalar const c96 = c9 * c95; // 计算c96    J(0, 0) = o;    J(0, 1) = o;    J(0, 2) = o;    J(0, 3) = -c0 * c10 + c0 * c13 + c8;    J(0, 4) = c16;    J(0, 5) = c17;    J(1, 0) = o;    J(1, 1) = o;    J(1, 2) = o;    J(1, 3) = c16;    J(1, 4) = -c1 * c10 + c1 * c13 + c8;    J(1, 5) = c19;    J(2, 0) = o;    J(2, 1) = o;    J(2, 2) = o;    J(2, 3) = c17;    J(2, 4) = c19;    J(2, 5) = -c10 * c2 + c13 * c2 + c8;    J(3, 0) = o;    J(3, 1) = o;    J(3, 2) = o;    J(3, 3) = -c20 * c21;    J(3, 4) = -c21 * c22;    J(3, 5) = -c21 * c23;    J(4, 0) = c26 * c29 + Scalar(1);    J(4, 1) = -c33 + c35;    J(4, 2) = c36 + c37;    J(4, 3) = upsilon[0] * (-c26 * c39 + c40 * c41) + upsilon[1] * (c53 + c57) +              upsilon[2] * (c48 + c51);    J(4, 4) = upsilon[0] * (-c26 * c59 + c40 * c60 + c58) +              upsilon[1] * (c68 + c71) + upsilon[2] * (c62 + c64 - c66 + c67);    J(4, 5) = upsilon[0] * (-c26 * c73 + c40 * c74 + c72) +              upsilon[1] * (c75 - c76 + c77 + c78) + upsilon[2] * (c79 + c80);    J(5, 0) = c33 + c35;    J(5, 1) = c29 * c82 + Scalar(1);    J(5, 2) = -c83 + c84;    J(5, 3) = upsilon[0] * (c53 + c91) +              upsilon[1] * (-c39 * c82 + c41 * c86 + c85) +              upsilon[2] * (c75 - c87 + c88 + c90);    J(5, 4) = upsilon[0] * (c68 + c79) + upsilon[1] * (-c59 * c82 + c60 * c86) +              upsilon[2] * (c92 + c93);    J(5, 5) = upsilon[0] * (c62 + c76 - c77 + c78) +              upsilon[1] * (c72 - c73 * c82 + c74 * c86) +              upsilon[2] * (c57 + c94);    J(6, 0) = -c36 + c37;    J(6, 1) = c83 + c84;    J(6, 2) = c29 * c95 + Scalar(1);    J(6, 3) = upsilon[0] * (c51 + c93) + upsilon[1] * (c62 + c87 - c88 + c90) +              upsilon[2] * (-c39 * c95 + c41 * c96 + c85);    J(6, 4) = upsilon[0] * (-c64 + c66 + c67 + c75) + upsilon[1] * (c48 + c92) +              upsilon[2] * (c58 - c59 * c95 + c60 * c96);    J(6, 5) = upsilon[0] * (c71 + c80) + upsilon[1] * (c91 + c94) +              upsilon[2] * (-c73 * c95 + c74 * c96);
    return J; // 返回矩阵J  }
  /// 返回exp(x)关于x_i在x=0处的导数。  ///  SOPHUS_FUNC static Sophus::Matrix<Scalar, num_parameters, DoF>  Dx_exp_x_at_0() { // 定义静态函数，返回矩阵类型的导数    Sophus::Matrix<Scalar, num_parameters, DoF> J; // 定义矩阵J    Scalar const o(0); // 定义常数0    Scalar const h(0.5); // 定义常数0.5    Scalar const i(1); // 定义常数1
    // clang格式化关闭    J << o, o, o, h, o, o,         o, o, o, o, h, o,         o, o, o, o, o, h,         o, o, o, o, o, o,         i, o, o, o, o, o,         o, i, o, o, o, o,         o, o, i, o, o, o; // 设置矩阵J的值    // clang格式化开启    return J; // 返回矩阵J  }
  /// 返回exp(x).matrix()关于``x_i在x=0处``的导数。  ///  SOPHUS_FUNC static Transformation Dxi_exp_x_matrix_at_0(int i) {    return generator(i);  }
  /// 返回exp(x) * p关于x_i在x=0处的导数。  ///  SOPHUS_FUNC static Sophus::Matrix<Scalar, 3, DoF> Dx_exp_x_times_point_at_0(      Point const& point) { // 定义静态函数，返回矩阵类型的导数    Sophus::Matrix<Scalar, 3, DoF> J; // 定义矩阵J    J << Sophus::Matrix3<Scalar>::Identity(),        Sophus::SO3<Scalar>::Dx_exp_x_times_point_at_0(point); // 设置矩阵J的值    return J; // 返回矩阵J  }
  /// 群指数函数  ///  /// 这个函数接收一个切空间的元素（即扭转``a``）并返回对应的SE(3)群元素。  ///  /// ``a``的前三个分量表示SE(3)切空间中的平移部分``upsilon``，  /// 后三个分量表示旋转向量``omega``。  /// 更具体地，该函数计算``expmat(hat(a))``，  /// 其中``expmat(.)``是矩阵指数，``hat(.)``是SE(3)的hat算子，见下文。  ///  SOPHUS_FUNC static SE3<Scalar> exp(Tangent const& a) { // 定义静态函数，返回SE3对象    using std::cos;    using std::sin;    Vector3<Scalar> const omega = a.template tail<3>(); // 提取omega向量
    Scalar theta;    SO3<Scalar> const so3 = SO3<Scalar>::expAndTheta(omega, &theta); // 计算SO3的指数和旋转角度    Matrix3<Scalar> const V = SO3<Scalar>::leftJacobian(omega, theta); // 计算左雅可比矩阵    return SE3<Scalar>(so3, V * a.template head<3>()); // 返回由SO3和平移向量构造的SE3对象  }
  /// 给定任意4x4矩阵，返回最接近的SE3。  ///  template <class S = Scalar>  SOPHUS_FUNC static std::enable_if_t<std::is_floating_point<S>::value, SE3>  fitToSE3(Matrix4<Scalar> const& T) { // 定义静态函数，返回SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>::fitToSO3(T.template block<3, 3>(0, 0)),               T.template block<3, 1>(0, 3)); // 通过拟合SO3和平移向量构造SE3对象  }
  /// 返回SE(3)的第i个无穷小生成元。  ///  /// SE(3)的无穷小生成元为：  ///  /// ```  ///         |  0  0  0  1 |  ///   G_0 = |  0  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///  ///         |  0  0  0  0 |  ///   G_1 = |  0  0  0  1 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///  ///         |  0  0  0  0 |  ///   G_2 = |  0  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  1 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///  ///         |  0  0  0  0 |  ///   G_3 = |  0  0 -1  0 |  ///         |  0  1  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///  ///         |  0  0  1  0 |  ///   G_4 = |  0  0  0  0 |  ///         | -1  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///  ///         |  0 -1  0  0 |  ///   G_5 = |  1  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  ///         |  0  0  0  0 |  /// ```  ///  /// 前提条件：``i``必须在[0, 5]范围内。  ///  SOPHUS_FUNC static Transformation generator(int i) { // 定义静态函数，返回生成元矩阵    SOPHUS_ENSURE(i >= 0 && i <= 5, "i should be in range [0,5]."); // 确保i在[0, 5]范围内    Tangent e; // 定义切向量e    e.setZero(); // 将e初始化为零    e[i] = Scalar(1); // 设置e的第i个分量为1    return hat(e); // 返回hat算子作用于e的结果  }
  /// hat算子  ///  /// 接收6维向量表示（即扭转），返回对应的李代数元素的矩阵表示。  ///  /// 正式定义，SE(3)的hat算子定义为  ///  ///   ``hat(.): R^6 -> R^{4x4},  hat(a) = sum_i a_i * G_i``  (对于i=0,...,5)  ///  /// 其中``G_i``是SE(3)的第i个无穷小生成元。  ///  /// 对应的逆运算是vee算子，见下文。  ///  SOPHUS_FUNC static Transformation hat(Tangent const& a) { // 定义静态函数，返回转换矩阵    Transformation Omega; // 定义转换矩阵    Omega.setZero(); // 将Omega初始化为零    Omega.template topLeftCorner<3, 3>() =        SO3<Scalar>::hat(a.template tail<3>()); // 设置Omega的左上角为SO3的hat算子作用于a的结果    Omega.col(3).template head<3>() = a.template head<3>(); // 设置Omega的第四列的前三个元素为a的前三个元素    return Omega; // 返回Omega  }
  /// 李括号  ///  /// 计算SE(3)的李括号。具体来说，它计算  ///  ///   ``[omega_1, omega_2]_se3 := vee([hat(omega_1), hat(omega_2)])``  ///  /// 其中``[A,B] := AB-BA``是矩阵换位子，``hat(.)``是  /// hat()算子和``vee(.)``是SE(3)的vee()算子。  ///  SOPHUS_FUNC static Tangent lieBracket(Tangent const& a, Tangent const& b) { // 定义静态函数，返回切向量类型的李括号    Vector3<Scalar> const upsilon1 = a.template head<3>(); // 提取a的前三个分量（平移部分）    Vector3<Scalar> const upsilon2 = b.template head<3>(); // 提取b的前三个分量（平移部分）    Vector3<Scalar> const omega1 = a.template tail<3>(); // 提取a的后三个分量（旋转部分）    Vector3<Scalar> const omega2 = b.template tail<3>(); // 提取b的后三个分量（旋转部分）
    Tangent res; // 定义结果切向量    res.template head<3>() = omega1.cross(upsilon2) + upsilon1.cross(omega2); // 计算平移部分的李括号    res.template tail<3>() = omega1.cross(omega2); // 计算旋转部分的李括号
    return res; // 返回结果  }
  /// 构造绕X轴的旋转。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 rotX(Scalar const& x) { // 定义静态函数，返回绕X轴旋转的SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>::rotX(x), Sophus::Vector3<Scalar>::Zero());  }
  /// 构造绕Y轴的旋转。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 rotY(Scalar const& y) { // 定义静态函数，返回绕Y轴旋转的SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>::rotY(y), Sophus::Vector3<Scalar>::Zero());  }
  /// 构造绕Z轴的旋转。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 rotZ(Scalar const& z) { // 定义静态函数，返回绕Z轴旋转的SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>::rotZ(z), Sophus::Vector3<Scalar>::Zero());  }
  /// 从SE(3)流形上抽取均匀样本。  ///  /// 平移部分按分量从范围[-1, 1]中抽取。  ///  template <class UniformRandomBitGenerator>  static SE3 sampleUniform(UniformRandomBitGenerator& generator) { // 定义模板函数，返回均匀分布的SE3对象    std::uniform_real_distribution<Scalar> uniform(Scalar(-1), Scalar(1)); // 定义均匀分布    return SE3(SO3<Scalar>::sampleUniform(generator),               Vector3<Scalar>(uniform(generator), uniform(generator),                               uniform(generator))); // 返回均匀分布的SE3对象  }
  /// 构造仅包含平移的SE3实例。  ///  template <class T0, class T1, class T2>  static SOPHUS_FUNC SE3 trans(T0 const& x, T1 const& y, T2 const& z) { // 定义模板函数，返回平移的SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>(), Vector3<Scalar>(x, y, z));  }
  static SOPHUS_FUNC SE3 trans(Vector3<Scalar> const& xyz) { // 定义静态函数，返回平移的SE3对象    return SE3(SO3<Scalar>(), xyz);  }
  /// 构造沿X轴的平移。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 transX(Scalar const& x) { // 定义静态函数，返回沿X轴平移的SE3对象    return SE3::trans(x, Scalar(0), Scalar(0));  }
  /// 构造沿Y轴的平移。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 transY(Scalar const& y) { // 定义静态函数，返回沿Y轴平移的SE3对象    return SE3::trans(Scalar(0), y, Scalar(0));  }
  /// 构造沿Z轴的平移。  ///  static SOPHUS_FUNC SE3 transZ(Scalar const& z) { // 定义静态函数，返回沿Z轴平移的SE3对象    return SE3::trans(Scalar(0), Scalar(0), z);  }
  /// vee算子  ///  /// 接收4x4矩阵表示``Omega``并将其映射到对应的李代数的6维向量表示。  ///  /// 这是hat()算子的逆运算，见上文。  ///  /// 前提条件：``Omega``必须具有以下结构：  ///  ///                |  0 -f  e  a |  ///                |  f  0 -d  b |  ///                | -e  d  0  c  ///                |  0  0  0  0 | .  ///  SOPHUS_FUNC static Tangent vee(Transformation const& Omega) { // 定义静态函数，返回切向量类型的表示    Tangent upsilon_omega; // 定义结果切向量    upsilon_omega.template head<3>() = Omega.col(3).template head<3>(); // 提取平移部分    upsilon_omega.template tail<3>() =        SO3<Scalar>::vee(Omega.template topLeftCorner<3, 3>()); // 提取旋转部分    return upsilon_omega; // 返回结果切向量  }
 protected:  SO3Member so3_; // 定义SO3成员变量  TranslationMember translation_; // 定义平移成员变量};
template <class Scalar, int Options>SOPHUS_FUNC SE3<Scalar, Options>::SE3()    : translation_(TranslationMember::Zero()) { // 默认构造函数，将平移初始化为零  static_assert(std::is_standard_layout<SE3>::value,                "Assume standard layout for the use of offsetof check below."); // 静态断言，确保SE3具有标准布局  static_assert(      offsetof(SE3, so3_) + sizeof(Scalar) * SO3<Scalar>::num_parameters ==          offsetof(SE3, translation_),      "This class assumes packed storage and hence will only work "      "correctly depending on the compiler (options) - in "      "particular when using [this->data(), this-data() + "      "num_parameters] to access the raw data in a contiguous fashion."); // 静态断言，确保数据在内存中的连续性}}  // namespace Sophus
namespace Eigen {
/// 针对``SE3``的Eigen::Map特化；继承自SE3Base。////// 允许我们将SE3对象包装在POD数组中。template <class Scalar_, int Options>class Map<Sophus::SE3<Scalar_>, Options>    : public Sophus::SE3Base<Map<Sophus::SE3<Scalar_>, Options>> { public:  using Base = Sophus::SE3Base<Map<Sophus::SE3<Scalar_>, Options>>; // 基类为SE3Base  using Scalar = Scalar_; // 标量类型  using Transformation = typename Base::Transformation; // 变换矩阵类型  using Point = typename Base::Point; // 点类型  using HomogeneousPoint = typename Base::HomogeneousPoint; // 齐次点类型  using Tangent = typename Base::Tangent; // 切向量类型  using Adjoint = typename Base::Adjoint; // 伴随矩阵类型
  using Base::operator=; // 使用基类的赋值操作符  using Base::operator*=; // 使用基类的乘法赋值操作符  using Base::operator*; // 使用基类的乘法操作符
  SOPHUS_FUNC explicit Map(Scalar* coeffs) // 显式构造函数，接收标量指针      : so3_(coeffs), // 初始化SO3部分        translation_(coeffs + Sophus::SO3<Scalar>::num_parameters) {} // 初始化平移部分
  /// SO3的修改器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::SO3<Scalar>, Options>& so3() { return so3_; } // 返回SO3的引用
  /// SO3的访问器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::SO3<Scalar>, Options> const& so3() const { // 返回SO3的常量引用    return so3_;  }
  /// 平移向量的修改器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::Vector3<Scalar, Options>>& translation() { // 返回平移向量的引用    return translation_;  }
  /// 平移向量的访问器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::Vector3<Scalar, Options>> const& translation() const { // 返回平移向量的常量引用    return translation_;  }
 protected:  Map<Sophus::SO3<Scalar>, Options> so3_; // SO3部分  Map<Sophus::Vector3<Scalar>, Options> translation_; // 平移部分};
/// 针对``SE3 const``的Eigen::Map特化；继承自SE3Base。////// 允许我们将SE3对象包装在POD数组中。template <class Scalar_, int Options>class Map<Sophus::SE3<Scalar_> const, Options>    : public Sophus::SE3Base<Map<Sophus::SE3<Scalar_> const, Options>> { public:  using Base = Sophus::SE3Base<Map<Sophus::SE3<Scalar_> const, Options>>; // 基类为SE3Base  using Scalar = Scalar_; // 标量类型  using Transformation = typename Base::Transformation; // 变换矩阵类型  using Point = typename Base::Point; // 点类型  using HomogeneousPoint = typename Base::HomogeneousPoint; // 齐次点类型  using Tangent = typename Base::Tangent; // 切向量类型  using Adjoint = typename Base::Adjoint; // 伴随矩阵类型
  using Base::operator*=; // 使用基类的乘法赋值操作符  using Base::operator*; // 使用基类的乘法操作符
  SOPHUS_FUNC explicit Map(Scalar const* coeffs) // 显式构造函数，接收常量标量指针      : so3_(coeffs), // 初始化SO3部分        translation_(coeffs + Sophus::SO3<Scalar>::num_parameters) {} // 初始化平移部分
  /// SO3的访问器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::SO3<Scalar> const, Options> const& so3() const { // 返回SO3的常量引用    return so3_;  }
  /// 平移向量的访问器  ///  SOPHUS_FUNC Map<Sophus::Vector3<Scalar> const, Options> const& translation() const { // 返回平移向量的常量引用    return translation_;  }
 protected:  Map<Sophus::SO3<Scalar> const, Options> const so3_; // SO3部分  Map<Sophus::Vector3<Scalar> const, Options> const translation_; // 平移部分};}  // namespace Eigen

这段代码定义了特殊欧几里得群SE(3)的实现，主要涉及三维空间中的旋转和平移。

类和命名空间

• Sophus: 主要命名空间，包含SE3和SO3的实现。

• Eigen: 主要用于矩阵操作和数学运算。

SE3Base类

• SE3Base: SE3的基础类，实现了旋转和平移的组合表示。它具有自由度（DoF）为6，内部参数数量为7。

• 包含了各种变换矩阵和点、平面、线的表示及其相关操作。

SE3类

• SE3: 继承自SE3Base，实现了具体的SE3操作。

• 提供了一些常用的构造函数，例如从旋转矩阵、四元数和4x4矩阵构造SE3对象。

基本操作

• 逆变换:inverse() 方法返回SE3的逆。

• 对数映射:log() 方法计算群元素的对数映射。

• 归一化:normalize() 方法重新归一化SO3元素。

• 矩阵表示:matrix() 方法返回实例的4x4矩阵表示。

李代数相关操作

• 李括号:lieBracket() 方法计算两个SE3切向量的李括号。

• 指数映射:exp() 方法将切空间元素映射到SE3群。

• hat和vee算子: 分别用于将切向量表示和矩阵表示相互转换。

其他功能

• 平移和旋转构造函数:rotX(),rotY(),rotZ(),trans(),transX(),transY(),transZ() 等方法用于构造特定的旋转和平移变换。

• 样本生成:sampleUniform() 方法从SE3流形上生成均匀样本。

Eigen::Map特化

• Map类: 对SE3和常量SE3进行特化，使其可以包装在POD数组中，方便操作。

通过这些实现，这段代码提供了一个完整的SE(3)群操作的实现，包括旋转和平移的组合表示、转换、映射及其相关操作。这些功能对于处理刚体变换和运动学计算非常有用。