17、缩放遗传算法的渐近收敛性

缩放遗传算法的渐近收敛性

1. 均匀种群的驱动

研究缩放遗传算法向均匀种群的收敛性。选择算子有产生均匀种群的趋势，且突变率会逐渐收敛到零。相关研究表明，具有严格正突变率极限的遗传算法无法渐近收敛到仅包含全局最优个体的种群概率分布。因此，为了实现向全局最优的渐近收敛，突变率必须逐渐降至零。在这种情况下，算法最终会收敛到均匀种群的概率分布。

1.1 突变流不等式

设 $\mu$ 表示具有突变率 $\mu$ 的多点突变，$\chi$ 表示单点常规交叉。则有：
1. 对于每个种群 $\mathbf{p}$，$0 < P(\text{从 }\mathbf{p}\text{ 经多点突变得到均匀种群}) < 1$。
2. （此处省略具体不等式内容，因文档中未明确给出完整形式）

证明思路：
- 若 $\mathbf{p}$ 是均匀种群，改变基因组中的单个位点会使种群变得不均匀，且发生这种情况的概率以及保持 $\mathbf{p}$ 不变的概率都是严格正的，所以从 $\mathbf{p}$ 经多点突变得到均匀种群的组合概率在 $(0, 1)$ 范围内。
- 对于陈述 (2)，通过应用相关命题和公式进行推导。

突变流不等式展示了突变操作如何控制遗传算法中均匀和非均匀种群之间的平衡。当突变流不等式与选择算子向均匀种群的收缩特性相结合时，对于小的突变率，简单遗传算法稳态分布中非均匀种群的组合概率会变小。

1.2 定理

设 $\mu$ 表示具有突变率 $\mu$ 的多点突变，$\chi$ 表示单点常规交叉，$S$ 表示缩放比例适应度选择。则有：
1. （此处