16、缩放遗传算法的渐近收敛性

缩放遗传算法的渐近收敛性

1. 生物与种群

在遗传算法的应用中，通常考虑使用二进制编码的算法，其基本字母表为二进制字符。不过，在一些需要在紧凑域中优化实参数的应用场景里，采用一个更大的离散字母表来表示有限且等距的实数集合可能会更具优势。

1.1 生物与种群的定义

• 生物 ：将遗传算法应用的模型世界中的生物（即候选解）的基因组视为长度为 (l) 的字符串，字母表通常为二进制。用 (S) 表示生物的集合。
• 种群 ：遗传算法应用的种群集合是生物的多重集，假设种群大小 (N) 为偶数。每个种群可以看作是长度为 (L = Nl) 的字符串。

1.2 相关概念

• 基因组位置 ：基因组中的一个位置是表示生物或种群的字符串中某个字母的位置。
• 汉明距离 ：对于两个生物或种群，汉明距离定义为它们基因组中不同位置的数量。
• 向量空间 ：遗传算法模型的基础向量空间是基于生物集合 (S) 的自由复向量空间，(S) 成为该向量空间的基。每个种群可以自然地与一个整数对应，从而在种群集合上诱导出一个自然顺序。

1.3 均匀种群与投影

设 (U) 是所有均匀种群（即由单个生物的副本组成）构成的自由向量空间，(\Pi_U) 表示到 (U) 的正交投影。有如下命题：
设 (X) 是一个线性映射，使得对于每个均匀