15、缩放遗传算法向全局最优的渐近收敛：理论入门

缩放遗传算法向全局最优的渐近收敛：理论入门

1. 引言

在遗传算法理论的探索中，我们需要一个坚实的基础。本文旨在为使用无界幂律缩放适应度函数以及标准变异和交叉操作的缩放遗传算法研究提供理论依据。目标受众主要是对进化计算领域感兴趣的学者，也适合有扎实数学基础的计算机科学专业本科生、研究生，或想将缩放遗传算法纳入课程的讲师。

主要目标是严格证明全局优化定理 3.4.1，该定理表明，适当缩放的遗传算法对于任意适应度函数，会收敛到仅包含最大适应度元素的均匀种群的概率分布。

遗传算法作为一种优化工具，起源于 20 世纪 60 年代基于“变异、交配和选择”的进化算法，由 Holland 在 1975 年发明。在遗传算法模型中，候选解被表示为来自 {0, 1} 的有序字符串，当前固定大小的种群会经历变异、交叉和选择操作，直到满足终止条件。简单遗传算法的这三个操作在算法过程中保持不变。

本文关注遗传算法的渐近行为，即算法永不停止时的概率行为。此前已有许多作者对遗传算法的渐近行为进行了研究，但对于使用缩放比例适应度选择的固定、相对较小种群大小的遗传算法的渐近收敛证明，直到最近才得到。本文及相关研究为实际在有限但大量循环后停止的遗传算法的设计和实现设定了边界条件。

2. 符号和预备知识

在描述缩放遗传算法、研究其组件并证明其渐近收敛之前，需要收集一些定义和基本事实。假设读者熟悉线性代数、微积分和基本概率理论。

2.1 标量和向量

• 基本集合 ：用 Z、R、$R_{\geq 0}$ 和 C 分别表示整数、实数、非负实数和复数。用 $\limsup