15、缩放遗传算法渐近收敛到全局最优解的理论介绍

缩放遗传算法渐近收敛到全局最优解的理论介绍

引言

在遗传算法理论探索新前沿的征程中，需要一个坚实的起点。本文保守地描述了一种缩放遗传算法的理论基础，该算法对适应度函数采用无界幂律缩放，同时使用标准的变异和交叉操作。目标受众主要是对进化计算领域感兴趣的学者，也方便有扎实数学基础的计算机科学专业高年级本科生、研究生，以及想将缩放遗传算法纳入课程的讲师。

主要目标是严格证明全局优化定理 3.4.1，该定理表明，适当缩放的遗传算法对于任意适应度函数，都会收敛到仅包含最大适应度元素的均匀种群的概率分布。

1. 符号和预备知识

在描述缩放遗传算法、研究其组件并证明其渐近收敛性之前，需要收集一些定义和基本事实。假设读者熟悉线性代数、微积分和基本概率论。

1.1 标量和向量

• 用 Z、R、$R^+$ 和 C 分别表示整数、实数、非负实数和复数。
• 用 $\limsup$ 表示上极限，$\liminf$ 表示下极限。
• 对于向量空间的子集 S，定义 $\text{sp}(S)$ 为其生成的子空间。
• 对于集合中的元素 i 和 j，定义克罗内克 delta $\delta_{ij}$，当 $i = j$ 时为 1，否则为 0。
• 设 ${e_i}$ 为标准单位向量，向量的规范内积和汉明范数（$\ell_1$ - 范数）有相应定义。
• 设 $\Omega$ 为“纯态”集合，$\mathcal{P}(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上的概率分布集合，它是紧集，任何向量序列都有收敛子序列。