11、进化动力学的谱分析

进化动力学的谱分析

1. 传输矩阵的最小化

在寻找能实现快速首次命中时间的传输矩阵时，若找到一个传输矩阵满足特定条件，那么快速首次命中时间的唯一条件就是 (4.12)。秩为 1 的矩阵会产生特定结果，且当考虑选择时，会有相应的表现。然而，对于 UW，其并不满足大于某个值的条件，这表明秩为 1 的矩阵虽看似是实现快速首次命中时间的候选传输矩阵，但此希望很快破灭。

同时，由于传输矩阵 T 需满足“公平”（即双随机）条件，限制了寻找其他秩为 1 矩阵的可能性。这一结果并不意外，因为秩为 1 的矩阵对应随机搜索。

由此引出一个开放性问题：对于给定的一组适应度 W，哪些类别的公平传输矩阵能在最大化某值的同时最小化另一值，从而满足快速首次命中时间的条件？

为定义传输矩阵的类别，可通过参数化将传输拓扑与算子强度分离：
[T = (1 - \mu)I + \mu P]
其中，(\mu) 是突变率，(P) 是一个传输矩阵，且至少有一个值不为零。对于可表示为图的遗传算子（顶点表示类型，边表示类型间的算子变换），(P) 自然对应图的归一化邻接矩阵。

若 (\mu = 1)，矩阵 (T) 会变为可约矩阵；若 (\mu = 0)，则 (T = I)。对于小的 (\mu)，有如下猜想：若系统表现出快速首次命中时间，那么对于某个关于 (\mu) 的多项式 (p(\mu))，系统在 (\mu < p(\mu)) 时会表现出快速首次命中时间，而在 (\mu > p(\mu)) 时则不会。

以 ONEMAX 问题为例，其传输矩阵是简单的位翻转突变，在基因型间表示为图时会产生一个 (L) 维二进制超立方体。当适应度按正确顺序排