10、进化动力学谱分析中的开放问题

进化动力学谱分析中的开放问题

1. 引言

进化算法的性能和设计通用理论难以建立，即便在简单的“规范”模型中，由于其非线性结构和随机动力学特性，也存在诸多难题。不过，通过一些简化假设，如恒定选择、单亲遗传和无限种群，可以得到线性动力系统，其轨迹和吸引子能用特征值和特征向量谱来描述。

实际的进化算法在两个方面偏离了这些简化假设：有限种群和双亲（或多亲）重组。重组使无限种群模型的动力学从线性变为二次，需要采用非线性分析方法。有限种群算法通常使用伯努利采样，将模型从确定性变为随机性，其状态空间维度大幅增加。

以单亲、无限种群模型为起点，我们可以探讨以下三个主要的开放问题：
1. 寻找搜索空间全局最优解的最优传输矩阵是什么？
2. 无限种群模型的谱与有限种群模型的谱之间有什么关系？
3. 卡林关于算子强度影响的关键定理能否推广？

2. 规范模型

规范模型指的是在恒定适应度系数和广义单亲遗传下，无限种群以离散、非重叠世代进化的模型。设 $x$ 是种群中不同类型频率的向量，满足 $x \in \Delta^n$（$n$ 维单纯形），则 $x$ 的递推关系为：
[x_{t + 1} = \frac{W T x_t}{\bar{w} t}]
其中，$x {t + 1}$ 是下一个时间步的频率向量，$W$ 是适应度系数的对角矩阵，$\bar{w}_t$ 是种群的平均适应度，用于归一化以保持系统状态为频率，$T$ 是 $n \times n$ 的传输概率矩阵，表示类型 $i$ 产生类型 $j$ 后代的概率。

系统的轨迹为：
[x(t) = \frac{(W