37、数论与密码学中的困难假设

数论与密码学中的困难假设

1. 循环群基础与离散对数

在循环群中，元素的阶和生成元是重要的概念。例如，在群 (Z_p) 中，每个非零元素 (h) 的阶为 (p)，能生成 (Z_p)。对于 (Z_7^ ) 这个乘法群，它是循环群。其中，(\langle 2\rangle = {1, 2, 4})，说明 (2) 不是生成元；而 (\langle 3\rangle = {1, 3, 2, 6, 4, 5} = Z_7^ )，表明 (3) 是 (Z_7^*) 的生成元。

所有同阶的循环群在代数意义上是同构的。设 (G) 是阶为 (n) 的循环群，(g) 是 (G) 的生成元，映射 (f: Z_n \to G)，(f(a) = g^a) 是 (Z_n) 和 (G) 之间的同构。不过，在计算意义上，同构 (f^{-1}: G \to Z_n) 不一定能高效计算。

循环群中存在离散对数的概念。若 (G) 是阶为 (q) 且生成元为 (g) 的循环群，对于任意 (h \in G)，存在唯一的 (x \in Z_q) 使得 (g^x = h)，称 (x) 为 (h) 关于 (g) 的离散对数，记为 (x = \log_g h)。离散对数遵循一些规则，如 (\log_g 1 = 0)，(\log_g h^r = [r \cdot \log_g h \bmod q])，(\log_g(h_1h_2) = [(\log_g h_1 + \log_g h_2) \bmod q])。

离散对数问题是指在循环群 (G) 中，对于均匀选取的 (h \in G)，计算 (\log_g h)。通过离散对数实验 (DLog_{A,G}(n)) 来形式化该问题：
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