38、现代密码学中的数论与密码学难题假设

现代密码学中的数论与密码学难题假设

流行的椭圆曲线

在实际应用中，人们通常不会自行生成椭圆曲线，而是使用经过精心挑选的标准化曲线，以确保良好的安全性和高效的实现。以下是一些流行的椭圆曲线：
1. P - 256曲线（secp256r1） ：它是定义在 $Z_p$ 上的椭圆曲线，其中 $p = 2^{256} - 2^{224} + 2^{192} + 2^{96} - 1$，是一个256位的素数。选择这种形式的素数是为了便于实现模 $p$ 运算。曲线方程为 $y^2 = x^3 - 3x + B \mod p$，其中 $B$ 是指定常数，$A = -3$ 是为了优化椭圆曲线运算。该曲线具有素数阶，根据哈塞边界，其阶与 $p$ 同阶。
2. P - 384（secp384r1）和P - 521（secp521r1） ：分别是定义在模384位和521位素数上的类似曲线。
3. Curve25519 ：可以用蒙哥马利形式表示，也可以用扭曲爱德华兹形式表示（此时称为Ed25519）。它定义在 $Z_p$ 上，$p = 2^{255} - 19$，是一个255位的素数。选择这个素数同样是为了便于实现模 $p$ 运算。该椭圆曲线群不是素数阶，但可以在一个大素数阶的子群中进行密码运算。
4. secp256k1曲线 ：是定义在 $Z_p$ 上的素数阶曲线，其中 $p = 2^{256} - 2^{32} - 2^{9} - 2^{8} - 2^{7} - 2^{6} - 2^{4} - 1$。这是一条科布利茨曲线，方程为 $y^2 = x^3