34、数论与密码学中的困难假设

数论与密码学中的困难假设

1. 群论基础回顾

在群论的世界里，我们有一些重要的概念和结论。例如，对于一个有限群 (G)，其阶为 (m = |G|>1)。设 (e > 0) 为整数，定义函数 (f_e:G\rightarrow G) 为 (f_e(g)=g^e)。如果 (\gcd(e,m) = 1)，那么 (f_e) 是一个置换（即双射）。而且，如果 (d = e^{-1}\bmod m)，则 (f_d) 是 (f_e) 的逆函数。

证明过程如下：因为 (G) 是有限群，所以只需证明 (f_d) 是 (f_e) 的逆函数。对于任意 (g\in G)，有 (f_d(f_e(g))=f_d(g^e)=(g^e)^d = g^{ed}=g^{[ed\bmod m]}=g^1 = g)，这里第四个等式依据的是推论 9.15。

2. 群 (Z_N^*) 的定义与性质

集合 (Z_N={0,\cdots,N - 1}) 在模 (N) 加法下构成一个群。那在模 (N) 乘法下能构成群吗？为了定义这样的群，我们需要排除 (Z_N) 中不可逆的元素，比如 (0) 就没有乘法逆元。非零元素也可能不可逆。命题 9.7 指出，元素 (b\in{1,\cdots,N - 1}) 在模 (N) 下可逆的充要条件是 (\gcd(b,N)=1)。

于是，对于任意 (N > 1)，我们定义 (Z_N^ ={b\in{1,\cdots,N - 1}|\gcd(b,N)=1})，其群运算为模 (N) 乘法，即 (ab=[ab\bmod N])。可以证明 (Z_N^ ) 是一个阿贝尔群：
- 单位元