33、现代密码学中的数论与密码学困难假设

现代密码学中的数论与密码学困难假设

1. 现代密码学基础与目标

现代密码系统通常基于某些问题是困难的这一假设。例如，私钥密码学（包括加密方案和消息认证码）可以基于伪随机置换（即分组密码）存在的假设。然而，伪随机置换存在的假设看似较强且不自然，目前也难以证明现有分组密码的伪随机性。

与之形成对比的是，可以基于单向函数存在这一温和假设来证明伪随机置换的存在。单向函数是指易于计算但难以求逆的函数。本章的一个目标是介绍各种被认为是“困难”的问题，并基于这些问题提出推测的单向函数。这可以看作是私钥密码学“自上而下”方法的总结，即展示如何将单向函数建立在某些困难的数学问题之上。

另一个目标是为公开密钥密码学的研究开发所需的材料。在私钥设置中，不需要数论就可以高效构造必要的原语（如分组密码和哈希函数），但在公钥设置中，所有已知的构造都依赖于困难的数论问题。

2. 预备知识与基本群论

2.1 素数与整除性

• 整除定义 ：对于整数 (a) 和 (b)，若存在整数 (c) 使得 (ac = b)，则称 (a) 整除 (b)，记作 (a | b)；若 (a) 不能整除 (b)，则记作 (a \nmid b)。若 (a | b) 且 (a) 为正，则称 (a) 是 (b) 的一个约数；若 (a \notin {1, b})，则称 (a) 是 (b) 的非平凡约数或因子。
• 素数与合数 ：大于 1 且没有因子（即只有 1 和它本身两个约数）的正整数 (p) 称为素数；大于 1 且不是素数的正整数称为合数；1 既不是素数也不是合数。