36、数论与密码学中的困难性假设

数论与密码学中的困难性假设

1. 因式分解假设

因式分解假设是密码学中的一个重要基础。存在一个多项式时间算法 GenModulus，当输入为 (1^n) 时，它会输出 ((N, p, q))，其中 (N = pq)，并且 (p) 和 (q) 是 (n) 位素数（除了一个关于 (n) 可忽略的概率情况）。通常的做法是先生成两个均匀的 (n) 位素数，然后将它们相乘得到 (N)。

对于给定的算法 (A) 和参数 (n)，定义因式分解实验 (Factor_{A,GenModulus}(n)) 如下：
1. 运行 (GenModulus(1^n)) 得到 ((N, p, q))。
2. 算法 (A) 接收 (N)，并输出 (p’) 和 (q’)，且 (p’, q’ > 1)。
3. 如果 (p’ \cdot q’ = N)，则实验输出为 (1)；否则为 (0)。

需要注意的是，如果实验输出为 (1)，那么 ({p’, q’} = {p, q})，除非 (p) 或 (q) 是合数，但这种情况发生的概率可以忽略不计。

正式定义因式分解假设：如果对于所有概率多项式时间算法 (A)，都存在一个可忽略函数 (negl)，使得 (Pr[Factor_{A,GenModulus}(n) = 1] \leq negl(n))，则称相对于 (GenModulus) 因式分解是困难的。因式分解假设就是存在这样一个 (GenModulus)，使得因式分解是困难的。

2. RSA 假设

因式分解问题已经被研究了数百年，但尚未找到高效的算法。虽然因式分解假设能给出一个单向函数，但它不能直接产生实用的密码系统。这促使