41、树上子模不可拆分流的几何松弛算法

树上子模不可拆分流的几何松弛算法

在解决树上子模不可拆分流问题（Submodular UFP - tree）时，我们提出了一种 $O(k \cdot log n)$ 近似算法。下面将详细介绍该算法的具体内容。

1. 伪多项式规模的松弛

我们首先为具有线性目标函数的 UFP - tree 问题给出一个几何线性规划（LP）松弛，该松弛具有伪多项式规模。

1.1 归约为相交实例

我们将一般情况归约为每个任务的路径都包含树的根节点的情况，这种实例被称为相交实例。通过标准的质心分解，我们可以将任意实例归约为一组相交实例，但会在近似比上损失 $O(log n)$。

引理 1：假设存在一个多项式时间算法，能在相交实例上对 UFP - tree 问题实现 $\alpha$ 近似。那么存在一个多项式时间的 $O(\alpha \cdot log n)$ 近似算法，用于解决任意树上的该问题。而且，当目标函数是次可加的时，此结论仍然成立。

1.2 划分为路径

接下来，我们假设给定一个路径宽度为 $k$ 的树 $T$ 上的相交实例。我们的目标是为这类实例计算一个 $O(k)$ 近似，从而结合引理 1 得到一般问题的 $O(k log n)$ 近似。

我们将给定的树划分为一组路径 $P$，使得每个输入任务与 $P$ 中最多 $O(k)$ 条路径共享一条边。路径划分 $P$ 要求每条路径 $P \in P$ 是向上路径，即路径的一个端点是另一个端点在树 $T$ 中的祖先。

定义 1：考虑有根树 $T$ 上的 UFP - tree 相交实例。设 $P = {P_1, …, P_{\e