30、子模秘书问题的改进竞争比

子模秘书问题的改进竞争比

在秘书问题的研究中，如何提高算法的竞争比是一个关键问题。本文聚焦于具有归一化、单调和子模目标函数的秘书问题变体，通过将秘书到达时间建模为连续随机变量，为三种变体问题提供了改进的竞争比。

1. 连续到达时间的作用

将秘书的到达时间视为连续随机变量，能够简化算法及其分析。在本文考虑的秘书问题（CS）变体中，这种简化有助于获得更优的竞争比。

某些情况下，本文提出的算法可看作已知算法的连续“对应物”，但并非总是如此。例如，对于分区拟阵变体，本文使用连续到达时间设计的算法与先前已知算法采用了不同技术。

需要注意的是，基于随机到达顺序设计的算法的连续时间“对应物”与原始算法并不等价。以假设连续随机到达时间的 CS 最优算法为例，该算法在时间$e^{-1}$之前检查秘书，之后雇佣第一个比之前所见秘书都好的秘书。此算法期望检查$n/e$个秘书，而经典算法则精确检查该数量的秘书。这种细微差异使我们能够改进和简化先前的结果。

2. 问题定义与竞争比

本文所考虑的问题均为在线问题，输入是一组随机顺序到达的秘书（元素）。对于此类问题的算法$A$，用$opt$表示该问题的最优离线算法。给定问题实例$I$，$A(I)$和$opt(I)$分别为算法$A$和$opt$在实例$I$上的输出值。若$\inf_{I}\frac{E[A(I)]}{opt(I)}\geq\alpha$，则称算法$A$具有$\alpha$竞争比，其中期望是关于实例$I$中秘书的随机到达顺序以及算法$A$的随机性（若$A$是确定性算法则除外）。竞争比是衡量在线算法质量的标准指标。

3. 研究结果

本文针对三种