7、循环群：性质、生成元与子群的深入探究

循环群：性质、生成元与子群的深入探究

1. 循环群基础

循环群是一类具有特殊对称性的数学结构，与二面体群不同，它只描述具有旋转对称性的对象。可以将循环群想象成围绕一个点进行旋转，旋转一定次数后最终回到原始位置。循环群在数论、混沌理论和密码学等多个领域都有广泛的应用。

1.1 循环群的定义

若群 (G) 中存在元素 (a)，使得 (G) 中的每个元素都是 (a) 的某个整数次幂，则称 (G) 为循环群，记为 (G = \langle a \rangle)，其中 (a) 称为 (G) 的生成元。

1.2 有限循环群与无限循环群

• 有限循环群 ：若 (G) 是由 (a) 生成的有限循环群，阶为 (n)，则 (G = {a, a^2, a^3, \cdots, a^n = e})。
• 无限循环群 ：若 (a) 的阶为无限，则 (G = {a^i | i = 0, \pm1, \pm2, \cdots})。

1.3 示例

群	描述	生成元
((\mathbb{Z}, +))	整数加法群	(1) 和 (-1)
((m\mathbb{Z}, +))